Exemple 4

Dans l’ensemble ordonné $E = \mathbf{R}$ des nombres réels, considérons l’ensemble $F = \mathbf{Q}$ des nombres rationnels, et l’ensemble $A \subset F$ des nombres rationnels $< \sqrt{2}$; alors $\sup_E A$ existe, mais non $\sup_F A$. 3) Avec les mêmes notations que dans l’exemple 1), soit G la réunion de A et de l’ensemble {2}; on a $G \subset F$, et $\sup_G A$ existe, mais non $\sup_F A$. 3) Avec les mêmes notations, on a $\sup_E A = \sqrt{2}$, $\sup_G A = 2.*$

On a toutefois le résultat suivant: