Remarque 4

Étiquette 0E4Y, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E4Y].

Topological Vector Spaces, chapter III, § 1. Bornologie dans un espace vectoriel topologique

Si E est un espace localement convexe séparé, pour tout $x \neq 0$ dans E, il existe une semi-norme continue $p$ telle que $p(x) \neq 0$ ; cette semi-norme n’est pas bornée sur la demi-droite réelle $\mathbf{R}_+ . x$ engendrée par x. Donc aucun sous-espace non nul de E n’est borné. En particulier, un sous-ensemble borné ne contient aucune droite.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.