Bài tập 21, § 4

Chứng minh rằng nếu $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff nửa đầy đủ, thì không gian bornological liên kết với $E$ (III, p. 40, bài tập 1) là ultrabornological.

T 22) Cho $E$ là một không gian Banach vô hạn chiều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. a) Chứng minh rằng tập hợp $\mathscr{K}$ gồm tất cả các tập con compact, lồi và cân bằng $A$ của $E$ sao cho $E_A$ là vô hạn chiều, là vô hạn và có lực lượng $\leq 2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$ (GT, IX, § 5, bài tập 17). Với mọi $x_0 \in E$ và mọi $A \in \mathscr{K}$, tập hợp $x_0 + A$ chứa một tập con tự do có lực lượng $2^{\mathrm{Card}(\mathbf{N})}$ (II, p. 80, bài tập 24, c)). b) Cho $x_0 \neq 0$ thuộc $E$. Chứng minh rằng tồn tại một họ $(y_A)_{A \in \mathscr{K}}$ sao cho $x_0$ và các $y_A$ lập thành một họ tự do và ta có $y_A \in x_0 + A$ với mọi $A \in \mathscr{K}$ (sắp thứ tự tốt $\mathscr{K}$ và lập luận bằng quy nạp siêu hạn, sử dụng $a$). c) Cho $f \in E^*$ là một dạng tuyến tính sao cho $f(x_0) = 1$ và $f(y_A) = 0$ với mọi $A \in \mathscr{K}$, và đặt $H = f^{-1}(0)$. Chứng minh rằng một tập con $M$ của $H$ lồi, cân bằng và nửa đầy đủ nhất thiết là hữu hạn chiều (nhận xét rằng nếu không, $M$ sẽ chứa một tập compact, lồi và cân bằng vô hạn chiều $A$; do đó $y_A$ sẽ thuộc $H \cap (x_0 + M)$). d) Chứng minh rằng $H$ với tôpô cảm sinh bởi tôpô của $E$ không phải là ultrabornological, mặc dù là bornological và barrelled (III, p. 44, bài tập 14). (Bằng cách sử dụng $c$, chứng minh rằng nếu $H$ là ultrabornological, thì tôpô của nó sẽ là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, và suy ra một mâu thuẫn.)