Bài tập 10, § 3

Cho E là một không gian Hilbert, u là một tự đồng cấu dương của E. a) Chứng minh rằng với mọi $x \in E$, ta có

(chú ý rằng $\langle u(x)|u(x) \rangle^2 \leq \langle u(x)|x \rangle \langle u^2(x)|u(x) \rangle$, theo V, p. 3, mệnh đề 2). b) Cho M là một không gian con vectơ đóng của E, $M^\circ$ là phần bù trực giao của nó. Cho $x \in M$, và gọi $f(x)$ là cận dưới của $\langle u(x+y)|x+y \rangle$ khi $y$ chạy trên $M^\circ$. Với mọi $\varepsilon > 0$, gọi $E(x, \varepsilon)$ là tập hợp tất cả các $y \in M^\circ$ sao cho $\langle u(x+y)|x+y \rangle \leq f(x) + \varepsilon$. Chứng minh rằng $E(x, \varepsilon)$ là lồi và rằng với mọi $z \in M^\circ$, ta có (xét hàm $g : t \mapsto \langle u(x+y+tz)/x+y+tz \rangle$ của biến thực t, đạt cực tiểu của nó tại một điểm $t_0$ và chú ý rằng $g(t_0) \geq f(x)$ và $g(0) \leq f(x) + \varepsilon$. c) Với mọi số nguyên $n \geq 1$, cho $y_n \in E(x, 1/n)$; chứng minh rằng dãy $(u(x+y_n))$ tiến tới một giới hạn $x_1'$ thuộc M, và rằng dãy $(\langle u(y_n)|y_n \rangle)$ bị chặn (hãy tìm một cận cho các số $\langle u(y_n-y_m)|y_n-y_m \rangle$ với $m \geq n$ và $|\langle u(x+y_n)|z \rangle|$ với $z \in M^\circ$ bằng cách sử dụng bất đẳng thức (*)). d) Cho $(y'_n)$ là một dãy các điểm của $M^\circ$ sao cho $\langle u(y'_n-y'_m)|y'_n-y'_m \rangle$ nhỏ tùy ý khi m và n đủ lớn, và sao cho dãy $(u(x+y'_n))$ có một giới hạn $x_1' \in M$;

chứng minh rằng $x'_1 = x_1$. (Đặt $Q(z) = \langle u(z)|z \rangle$; trước hết chứng minh rằng số $Q((y_p - y'_p) - (y_q - y'_q))$ nhỏ tùy ý ngay khi $p$ và $q$ đủ lớn, và suy ra rằng dãy $(Q(y_n - y'_n))$ bị chặn; sử dụng sự kiện rằng $\langle x'_1 - x_1|y_p - y'_p \rangle = 0$ với mọi $p$, chứng minh rằng dãy $(Q(y_n - y'_n))$ tiến tới 0 và sử dụng $a$.) e) Suy ra từ $d$ rằng điểm $x_1$ không phụ thuộc vào lựa chọn của các $y_n \in E(x, 1/n)$, và rằng nếu ta đặt $u_1(x) = x_1$, thì $u_1$ là một ánh xạ tuyến tính từ $M$ vào chính nó. Chứng minh rằng $0 \leq \langle u_1(x)|x \rangle \leq \langle u(x)|x \rangle$ với mọi $x \in M$ và do đó rằng $u_1$ là liên tục và là một tự đồng cấu của $M$ thỏa mãn $\geq 0$. (Nhận xét rằng $\langle u(x + y_n)|y_n \rangle$ tiến tới 0 và $\langle u(x + y_n)|x + y_n \rangle$ tiến tới $f(x)$.) f) Gọi $p_M$ là phép chiếu trực giao có ảnh $M$, và đặt $u_0 = u_1 \circ p_M$. Ta có $0 \leq u_0 \leq u$, và $M$ ổn định dưới $u_0$, và hạn chế của $u_0$ trên $M^\circ$ là không. Chứng minh rằng $u_0$ là phần tử lớn nhất trong họ tất cả các tự đồng cấu $v \geq 0$ sao cho $v \leq u$, $M$ ổn định dưới $v$ và hạn chế của $v$ trên $M^\circ$ là không.