Bài tập 12, § 3

Cho $E$ là một không gian Hilbert thực và $V$ là một nón lồi đóng trong $E$, với đỉnh 0, cho $V^\circ$ là nón đối cực của $V$ (trong $E$, được đồng nhất một cách chính tắc với không gian đối ngẫu của nó). a) Chứng minh rằng mọi điểm $x \in E$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $x = x_+ - x_-$ trong đó $x_+ \in V$ và $x_- \in V^\circ$, và $\langle x_+|x_- \rangle = 0$. b) Với mọi mặt $F$ của $V$ (II, p. 87, exerc. 3), $F$ hoặc là điểm 0 hoặc là một nón lồi có đỉnh 0 ; tập hợp tất cả các $y \in V^\circ$ trực giao với $F$ là một mặt đóng $F'$ của $V^\circ$ (nhưng đây không phải là « mặt đối ngẫu » của $F$ theo nghĩa của II, p. 87, exerc. 6, mặt sau là rỗng). c) Lấy $E$ là tập hợp tất cả các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt của một không gian Hilbert thực, và lấy $V$ là tập hợp các phần tử dương trong $E$. Chứng minh rằng ta có $V^\circ = V$ và trong trường hợp này hãy giải thích kết quả của $a$ (để thấy rằng $V \subset V^\circ$, dùng hệ quả 1 của V, p. 56). d) Dưới giả thiết của $c$, cho $v \in V$; tập hợp $L$ của tất cả các $x \in H$ sao cho $\langle v(x)|x \rangle = 0$, hoặc, điều tương tự, sao cho $v(x) = 0$ (V, p. 77, exerc. 10) là một không gian con vectơ đóng của $H$, và mặt $F$ của $v$ trong $V$ là tập hợp đóng của tất cả các $u \in V$ sao cho $u(x) = 0$ với mọi $x \in L$; nó có thể được đồng nhất với nón của tất cả các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt dương của không gian Hilbert $L^\circ$. Suy ra rằng phép chiếu từ $E$ lên tập hợp lồi $F$ (V, p. 11) là đồng nhất với phép chiếu trực giao từ $E$ lên không gian con vectơ đóng của $E$ sinh bởi $F$.