Bài tập 13, § 3

Cho $E$ là một không gian Hilbert, $G$ là một nhóm con của nhóm gồm tất cả các tự đẳng cấu của cấu trúc không gian Hilbert của $E$. Gọi $E^G$ là không gian con vectơ đóng của $E$ gồm tất cả các vectơ bất biến dưới tác dụng của $G$, và $p$ là phép chiếu trực giao từ $E$ lên $E^G$. a) Chứng minh rằng phần bù trực giao của $E^G$ trong $E$ là không gian con vectơ đóng sinh bởi các vectơ $s.x - x$, trong đó $s$ chạy trên $G$ và $x \in E$. b) Cho $H$ là một tập con lồi đóng khác rỗng của $E$ ổn định dưới tác dụng của $G$. Chứng minh rằng phép chiếu của 0 lên $H$ thuộc $E^G$. c) Giả sử rằng $H$ là bao lồi đóng của quỹ đạo của một điểm $x$ của $E$, và gọi $a$ là phép chiếu của 0 lên $H$. Chứng minh rằng $a = p(x)$ và rằng $H \cap E^G$ thu gọn thành điểm $a$ (« định lý Birkhoff-Alaoglu »). (Chú ý rằng $x - a$ được chứa trong phần bù trực giao của $E^G$.) d) Giả sử $G$ được sinh bởi một tự đẳng cấu $u$ của $E$. Chứng minh rằng $p(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n u^j(x)$ với mọi $x \in E$ (nếu $y_n = \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n u^j(x)$, chú ý rằng dãy $(y_n)$ có một điểm giới hạn yếu $a$, và $u(a) = a$, sau đó sử dụng $c$). e) Giả sử $G$ là ảnh của một đồng cấu $t \mapsto u_t$ từ $\mathbf{R}$ lên nhóm các tự đẳng cấu của $E$, sao cho với mọi $x \in E$, $t \mapsto u_t \cdot x$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{R}$ vào $E$. Chứng minh rằng $p(x) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T u_t \cdot x \, dt$ với mọi $x \in E$.

f) Giả sử tồn tại một phần tử $x \neq 0$ của E và một số $\alpha$ sao cho $0 < \alpha < 1$ và $\| s.x - x \| \leq \alpha \| x \|$ với mọi $s \in G$. Chứng minh rằng $E^G \neq \{0\}$ (sử dụng c)).