Bài tập 14, § 3

Cho E là một không gian Hilbert phức, và T là một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt của E. a) Cho R và L là các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt dương sao cho $R^2 = T*T$ và $L^2 = TT^*$ (V, p. 57, cor. 3); đặt $R = \operatorname{abs}(T)$, và gọi đây là « giá trị tuyệt đối » của T (cf. V, p. 75, exerc. 4); ta có $L = \operatorname{abs}(T^*)$. Chứng minh rằng $\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{Ker}(R)$ và $\overline{L(E)} = \overline{T(E)}$. Tồn tại một, và chỉ một, đẳng cấu đẳng cự V từ $R(E)$ lên $T(E)$ sao cho $T = VR$; nếu ta mở rộng V bằng tính liên tục đến $\overline{R(E)}$, rồi đến một toán tử $U \in \mathscr{L}(E)$ bằng cách lấy $U.x = 0$ trên phần bù trực giao của $R(E)$, ta cũng có $T = UR$ (phân tích cực của T). Khi đó $R = U*T = U^*UR = RU^*U$ và $L = URU^*, T = LU^*$. Nếu T thuộc $\mathscr{L}^1(E)$, thì $R = \operatorname{abs}(T)$ cũng vậy, và T là tích của hai tự đồng cấu Hilbert-Schmidt.

b) Nếu $T$ thuộc $\mathscr{L}^1(E)$, chứng minh rằng $\operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T)) = \sup (\sum_i | \langle a_i|T.b_i \rangle |)$ trong đó, ở vế phải, $(a_i)$ và $(b_i)$ chạy trên tập hợp các cơ sở trực chuẩn của E (sử dụng phân tích cực của T). Chứng minh rằng nếu ta đặt $\| T \|_1 = \operatorname{Tr}(\operatorname{abs}(T))$, thì $\| T \|_1$ là một chuẩn trên không gian $\mathscr{L}^1(E)$, sao cho $\| T \|_2 \leq \| T \|_1$.

c) Ngược lại, nếu $T \in \mathscr{L}(E)$ sao cho, với mọi cặp $((a_i), (b_i))$ gồm các cơ sở trực chuẩn của E, tổng $\sum_i | \langle a_i|T.b_i \rangle |$ là hữu hạn, thì $T \in \mathscr{L}^1(E)$ (trước hết nhận xét rằng T là một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt, sau đó sử dụng phân tích cực của T).

d) Cho $(T_v)$ là một dãy các tự đồng cấu Hilbert-Schmidt (tương ứng, các phần tử của $\mathscr{L}^1(E)$) sao cho với mọi cặp điểm x, y của E, dãy $(\langle x|T_v.y \rangle)$ hội tụ đến $\langle x|T.y \rangle$, trong đó T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào chính nó; ngoài ra, giả sử rằng dãy các chuẩn $\| T_v \|_2$ (tương ứng, $\| T_v \|_1$) bị chặn. Chứng minh rằng T là một tự đồng cấu Hilbert-Schmidt (tương ứng, một phần tử của $\mathscr{L}^1(E)$) (sử dụng b) và c)).

e) Suy ra từ d) rằng không gian $\mathscr{L}^1(E)$ là một không gian Banach đối với chuẩn $\| T \|_1$.

f) Đối với một tự đồng cấu $T \in \mathscr{L}(E)$, việc T thuộc $\mathscr{L}^1(E)$ là cần và đủ để, với ít nhất một cơ sở trực chuẩn $(e_i)$ của E, tổng $\sum_i \| T.e_i \|$ là hữu hạn (với các ký hiệu của a), chú ý rằng $|\langle e_i|R.e_i \rangle| \leq \| T.e_i \|$).

g) Trong không gian $\ell_c^2$, cho $(e_n)$ là cơ sở trực chuẩn chính tắc, và đặt $a = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} e_n$; nếu F là không gian con một chiều $\mathbf{C}.a$, thì phép chiếu trực giao $p_F$ có vết hữu hạn, nhưng chuỗi $\sum_n \| p_F.e_n \|$ không hội tụ.