Bài tập 15, § 3

Cho E là một không gian Hilbert phức; ký hiệu $\mathscr{B} = \mathscr{L}(E)$ là đại số các tự đồng cấu liên tục của E, được trang bị chuẩn thông thường $\| T \| = \sup_{\| x \| \leq 1} \| T.x \|$. Với mọi cặp điểm x, y trong E, ký hiệu $\omega_{x,y}$ là dạng tuyến tính liên tục $T \mapsto \langle x|T.y \rangle$ trên $\mathscr{B}$, và gọi $\mathscr{B}_o$ là không gian con đóng của đối ngẫu mạnh $\mathscr{B}'$ của không gian Banach $\mathscr{B}$, sinh bởi các $\omega_{x,y}$. a) Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính gán cho mỗi $T \in \mathscr{B}$ dạng tuyến tính $\omega \mapsto \langle \omega, T \rangle$ trên $\mathscr{B}_o$, là một đẳng cự từ $\mathscr{B}$ lên đối ngẫu mạnh của $\mathscr{B}_o$; nói cách khác, $\mathscr{B}_o$ là một tiền đối ngẫu (IV, p. 56, exerc. 23) của $\mathscr{B}$. Tôpô $\sigma(\mathscr{B}, \mathscr{B}_o)$ trên $\mathscr{B}$ được gọi là tôpô siêu yếu. b) Với mọi phần tử $T$ của $\mathscr{L}^1(E)$, ta định nghĩa một dạng tuyến tính $\phi_T$ trên $\mathscr{B}$ bởi công thức $\phi_T(S) = \operatorname{Tr}(ST)$ với mọi toán tử $S \in \mathscr{B}$. Chứng minh rằng $\phi_T$ liên tục và ánh xạ $T \mapsto \phi_T$ là một đẳng cự từ không gian Banach $\mathscr{L}^1(E)$ (exerc. 14, e)) lên không gian Banach $\mathscr{B}_o$ (trước hết xét trường hợp T có hạng hữu hạn). c) Gọi $\mathscr{B}_{oo}$ là không gian vectơ con của $\mathscr{B}_o$ sinh bởi các $\omega_{x,y}$ (sao cho $\mathscr{B}_o = \overline{\mathscr{B}_{oo}}$). Chứng minh rằng $\mathscr{B}_{oo}$ là barrelled (chú ý rằng một tập con của $\mathscr{B}$ bị chặn đối với $\sigma(\mathscr{B}, \mathscr{B}_{oo})$ thì bị chặn đối với tôpô chuẩn). d) Gọi $F_n$ là không gian con của $\mathscr{B}_{oo}$ là ảnh của tập hợp tất cả các tự đồng cấu của E có hạng $\leq n$ qua đẳng cự được xác định trong b). Chứng minh rằng $F_n$ là không trù mật khắp nơi trong $\mathscr{B}_{oo}$ và suy ra rằng $\mathscr{B}_{oo}$ không phải là một không gian Baire.