Bài tập 3, § 3

Cho $(a_{ij})_{(i,j) \in I \times I}$ là một họ kép vô hạn đếm được của các số phức. Giả sử tồn tại hai số $\beta > 0$, $\gamma > 0$, và một họ $(p_i)_{i \in I}$ các số $> 0$ thỏa mãn các quan hệ ()

với mọi $i, j$ trong $I$. a) Chứng minh rằng tồn tại một tự đồng cấu liên tục $u$ từ $\ell^2_c(I)$, có chuẩn $\leq (\beta \gamma)^{1/2}$, sao cho với mọi $x = (x_i)_{i \in I}$ trong $\ell^2_c(I)$, ta có $u(x) = y$, trong đó $y = (y_i)$ được cho bởi $y_i = \sum_j a_{ij} x_j$ (với $x = (x_i)$ và $y = (y_i)$ trong $\mathbf{C}^I$), đặt $v_{ij} = |x_i| (p_j |a_{ij}| / p_i)^{1/2}$, $w_{ij} = |y_j| (p_i |a_{ij}| / p_j)^{1/2}$, và tìm một chặn cho $\sum_{i,j} v_{ij} w_{ij}$. b) Với $I$, lấy tập hợp tất cả các số nguyên $\geq 1$, và đặt $a_{ij} = (i + j)^{-1}$. Chứng minh rằng các điều kiện () được thỏa mãn với $p_i = i^{-1/2}$ và $\beta = \gamma = \pi$ (đây là các hằng số tốt nhất có thể) (so sánh các chuỗi trong () với một tích phân). Theo cách tương tự, xét trường hợp $I = \mathbf{N}$ và $a_{ij} = (i + j + 1)^{-1}$ ("ma trận Hilbert"). \ c) Cho $\mathscr{H} = \mathbf{H}^2(D)$ là không gian Hardy, gồm tất cả các hàm $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$, giải tích trong đĩa mở $D : |z| < 1$ và sao cho $\|f\|^2 = \sum_n |a_n|^2 < +\infty$; khi đó $\|f\|$ là một chuẩn trên $\mathscr{H}$, đối với chuẩn này $\mathscr{H}$ đẳng cấu với $\ell^2_c(\mathbf{N})$. Cho hai hàm $f, g$ trong $\mathscr{H}$, chứng minh rằng hàm $t \mapsto f(t) g(t)$ của biến thực $t$ là khả tích trên $[0, 1]$ đối với độ đo Lebesgue và rằng công thức $B(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt$ xác định một dạng song tuyến tính liên tục trên $\mathscr{H} \times \mathscr{H}$ (xét $B(f, f) = \int_0^1 f(t)^2 \, dt$ đối với một hàm $f \in \mathscr{H}$ có dạng $f(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n$ với $a_n \geq 0$ với $0 \leq n \leq N$; dùng định lý Cauchy để thiết lập quan hệ từ đó suy ra $B(f, f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi |f(e^{i\theta})|^2 d\theta = \pi \|f\|^2$. Bằng cách này, thu được kết quả của b), theo đó ma trận Hilbert xác định một tự đồng cấu có chuẩn $\leq \pi$ của không gian Hilbert $\ell^2_c(\mathbf{N})$.)