Bài tập 4, § 3

Cho $E$ là một không gian Hilbert phức có số chiều hữu hạn $d$. a) Với mọi $u \geq 0$ trong $\mathscr{L}(E)$ (V, p. 45), hãy chứng minh rằng tồn tại duy nhất $v \geq 0$ trong $\mathscr{L}(E)$ sao cho $u = v^2$ (chéo hóa $u$); ta viết $v = u^{1/2}$.

b) Với mọi $u \in \mathscr{L}(E)$, đặt $\operatorname{abs}(u) = (u^*u)^{1/2}$. Chứng minh rằng $u$ và $\operatorname{abs}(u)$ có cùng chuẩn và ta có $\operatorname{abs}(\Lambda^n(u)) = \Lambda^n(\operatorname{abs}(u))$ với mọi số nguyên $n \leq d$. c) Cho $s_1(u) \geq s_2(u) \geq \ldots \geq s_d(u) \geq 0$ là dãy các trị riêng của $\operatorname{abs}(u)$ được tính với cấp bội số của chúng. Chứng minh rằng $\|u\| = s_1(u)$ và với mọi số nguyên $n \leq d$, $\|\Lambda^n(u)\| = s_1(u) s_2(u) \ldots s_n(u)$. Để có $\|\Lambda^n(u)\| = \|u\|^n$ với mọi $n$ sao cho $1 \leq n \leq d$, điều kiện cần và đủ là $u^*u$ là một phép vị tự, nói cách khác, $u$ là một bội vô hướng của một toán tử unita.