Bài tập 5, § 3

Cho $E, F$ là hai không gian Hilbert, và $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E$ vào $F$. Ký hiệu $\ell(u)$ là tập hợp tất cả các $x \in E$ sao cho $\|u(x)\| = \|u\| \cdot \|x\|$. a) Chứng minh rằng $\ell(u)$ là không gian con vectơ đóng của $E$, là hạt nhân của $u^*u - \|u\|^2 1_E$, và trực giao với hạt nhân của $u$. b) Chứng minh rằng hạn chế của $u$ trên $\ell(u)$ là một song ánh từ $\ell(u)$ lên $\ell(u^*)$, mà song ánh ngược của nó là hạn chế của $\|u\|^{-2} u^*$ trên $\ell(u^*)$; hơn nữa ảnh của phần bù trực giao $(\ell(u))^{\circ}$ qua $u$ được chứa trong $(\ell(u^*))^{\circ}$. Nếu $u_1$ là hạn chế của $u$ trên $(\ell(u))^{\circ}$, được xét như một ánh xạ từ $(\ell(u))^{\circ}$ vào $(\ell(u^*))^{\circ}$, thì ánh xạ phụ hợp $u_1^*$ là hạn chế của $u^*$ trên $(\ell(u^*))^{\circ}$; nếu $\ell(u) \neq E$, ký hiệu $\langle u \rangle$, được gọi là chuẩn con của $u$, là chuẩn $\|u_1\|$; nếu $\ell(u) = E$, ta đặt $\langle u \rangle = 0$. Khi đó $\langle u^* \rangle = \langle u \rangle$.