Bài tập 6, § 3

Cho $E$ là một không gian Hilbert, $M, N$ là hai không gian con đóng của $E$ và $M^{\circ}, N^{\circ}$ là các phần bù trực giao tương ứng của chúng; gọi $p_M, p_N$ là các phép chiếu trực giao lên $M$ và $N$ tương ứng, sao cho $1_E - p_M, 1_E - p_N$ là các phép chiếu trực giao lên $M^{\circ}$ và $N^{\circ}$ tương ứng. Đặt $u_{NM} = (1_E - p_N) p_M$ và $\delta(M, N) = \|u_{NM}\|$; ta có $\delta(M, N) = \delta(N^{\circ}, M^{\circ}) \leq 1$; quan hệ $\delta(M, N) < 1$ kéo theo $M \cap N^{\circ} = \{0\}$. a) Gọi $\tilde{M}$ là phần bù trực giao trong $M$ của $M \cap N^{\circ}$, và đặt $\varepsilon(M, N) = \delta(\tilde{M}, N)$. Chứng minh rằng (với các ký hiệu của Bài tập 5) $\ell(u_{NM}) = M \cap N^{\circ}$ và suy ra rằng $\varepsilon(M, N) = \langle u_{NM} \rangle \leq \delta(M, N)$; hơn nữa, nếu $M \cap N^{\circ} = \{0\}$ (và đặc biệt nếu $\delta(M, N) < 1$), thì $\varepsilon(M, N) = \delta(M, N)$. b) Đối với một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ $E$ vào chính nó, ta gọi cô chuẩn của $u$ là số $c(u) = \inf \|u(x)\| / \|x\|$, trong đó $x$ chạy trên tập hợp tất cả các vectơ $\neq 0$ trực giao với $u^{-1}(0)$ (nếu $u = 0$, đặt $c(u) = 1$). Để $u(E)$ đóng trong $E$, điều kiện cần và đủ là $c(u) > 0$ (I, p. 17, th. 1). Ta có $c(u^*) = c(u)$. c) Đặt $v_{NM} = p_N p_M$. Chứng minh rằng

(nhận thấy rằng $\|u_{NM}(x)\|^2 + \|v_{NM}(x)\|^2 = \|p_M \cdot x\|^2$, và rằng hạt nhân của $v_{NM}$ là $M^{\circ} + (M \cap N^{\circ})$ và suy ra rằng $\langle u_{NM} \rangle^2 \leq 1 - c(v_{NM})^2$). d) Suy ra từ b) và c) rằng $\varepsilon(N, M) = \varepsilon(M, N)$ và, dùng a), rằng $\varepsilon(M^{\circ}, N^{\circ}) = \varepsilon(M, N)$. e) Đặt $g(M, N) = \|p_M - p_N\|$ (cf. V, p. 64, Bài tập 17). Chứng minh rằng (nhận thấy rằng $p_M - p_N = (1_E - p_N) p_M - p_N (1_E - p_M)$); suy ra rằng $\varepsilon(M, N) \leq g(M, N)$. Nếu $M \cap N^{\circ} = N \cap M^{\circ} = \{0\}$, ta có quan hệ $\varepsilon(M, N) = \delta(M, N) = \delta(N, M) = g(M, N)$. Nếu $g(M, N) < 1$, thì $M \cap N^{\circ} = N \cap M^{\circ} = \{0\}$. f) Cho $Q_M, Q_N$ là hai phép chiếu liên tục trong $E$, có ảnh tương ứng là $M$ và $N$; hãy cho một chứng minh khác của quan hệ $g(M, N) \leq \|Q_M - Q_N\|$ (V, p. 64, Bài tập 17). (Chú ý rằng với mọi $x \in E$, ta có $\|(1_E - Q_M) \cdot x\|^2 + \|Q_M^* \cdot x\|^2 = \|x\|^2 + \|(Q_M - Q_M^*) \cdot x\|^2$, và áp dụng quan hệ này cho $x = (p_M - p_N) \cdot y$, nhận thấy các quan hệ $(1_E - Q_M) (p_M - p_N) = (Q_M - Q_N) p_N$ và $(p_M - p_N) Q_M = (1_E - p_N) (Q_M - Q_N)$.)