Bài tập 7, § 3

a) Với các ký hiệu của bài tập 6, chứng minh rằng, để $M + N^{\circ}$ đóng, điều kiện cần và đủ là $M + N^{\circ} = (M^{\circ} \cap N)$. b) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : $\alpha) \ \varepsilon(M, N) < 1$; $\beta) \ M + N^{\circ}$ là đóng trong $E$; $\gamma)$ Nếu $\tilde{M}$ là phần bù trực giao của $M \cap N^{\circ}$ trong $M$ và $(N^{\circ})^{\sim}$ là phần bù trực giao của $M \cap N^{\circ}$ trong $N^{\circ}$, thì $E$ là tổng trực tiếp của $M^{\circ} \cap N, M \cap N^{\circ}, \tilde{M}$ và $(N^{\circ})^{\sim}$. Hơn nữa, nếu $R$ và $S$ lần lượt là các phép chiếu từ $E$ lên $M$ và $(N^{\circ})^{\sim}$ tương ứng với phân tích này, thì

\| R \| = \| S \| = (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{1/2}. (Để thấy rằng $\alpha$ suy ra $\beta$) trước hết nhận xét rằng nếu $x \in \tilde{\mathbf{M}}$ và $y \in (\mathbf{N}^\circ)^{\sim}$, thì $|\langle x|y \rangle| \leq \varepsilon(\mathbf{M}, \mathbf{N}) \|x\|.\|y\|$; sau đó, đặt $u = x + y + t$ là phân tích của một phần tử $u \in \mathbf{M} + \mathbf{N}^\circ$ với $x \in \mathbf{M}$, $y \in (\mathbf{N}^\circ)^{\sim}$ và $t \in \mathbf{M} \cap \mathbf{N}^\circ$, suy ra rằng $\|x\| \leq (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{-1/2} \|u\|, \|y\| \leq (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{-1/2} \|u\|$ và $\|t\| \leq \|u\|$. Để chứng minh rằng $\gamma$ suy ra $\alpha$), xét phân tích $v = v_1 + v_2$ đối với một $v \in \tilde{\mathbf{M}}$, trong đó $v_1$ là phép chiếu trực giao của $v$ lên $\tilde{\mathbf{N}}$, phần bù trực giao của $\mathbf{N} \cap \mathbf{M}^\circ$ trong $\mathbf{N}$; ta có $R.v_1 = v$, và nếu có $\varepsilon(\mathbf{M}, \mathbf{N}) = 1$, thì tồn tại một dãy $(v_n) \in \mathbf{M}$ sao cho $\|v_n\| = 1$ và sao cho $\|(v_n)_1\|$ dần tới 0. Tiếp theo chứng minh rằng hạn chế $R_1$ của $R$ lên $\tilde{\mathbf{N}}$ là một song ánh từ $\tilde{\mathbf{N}}$ lên $\tilde{\mathbf{M}}$; để tính $\|R\|$, chứng minh rằng $\|R_1^{-1}\| \leq (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{1/2}$. c) Suy ra từ b) rằng nếu $\mathbf{M} + \mathbf{N}^\circ$ đóng, thì $\mathbf{M}^\circ + \mathbf{N}$ cũng đóng.