Bài tập 8, § 3

(a) Cho E là một không gian hilbert, và cho T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào chính nó sao cho $\|T\| \leq 1$. Chứng minh rằng các quan hệ $T.x = x, \langle T.x|x \rangle = \|x\|, T^*.x = x$ là tương đương, và rằng hạt nhân của $1_E - T$ và bao đóng của ảnh của $1_E - T$ là các phần bù trực giao. b) Cho T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào chính nó, thỏa mãn bất đẳng thức

với mọi $x \in E$. Khi đó $\|T.x\| < \|x\|$ với mọi $x$ sao cho $T.x \neq x$; với mọi $x \in E$, dãy $(T^n.x)$ hội tụ đến một điểm $P.x$, và $P$ là phép chiếu trực giao lên hạt nhân của $1_E - T$. c) Cho $P_1, ..., P_r$ là các phép chiếu trực giao trên E. Chứng minh rằng tích $T = P_1P_2 ... P_r$ thỏa mãn quan hệ (1) (lập luận bằng quy nạp trên r); do đó phép chiếu trực giao $P$ là phép chiếu trực giao lên giao của các ảnh của các phép chiếu $P_j$ (chú ý rằng nếu $\|P_j.x\| < \|x\|$ với một chỉ số j, thì $\|T.x\| < \|x\|$).