Bài tập 9, § 3

Cho E là một không gian Hilbert và $(P_j)_{j \in \mathbf{N}}$ là một dãy các phép chiếu trực giao trên E, sao cho, với mọi $j \in \mathbf{N}$, tồn tại một $n_j \in \mathbf{N}$ sao cho với mọi $k \in \mathbf{N}$, ít nhất một trong các phép chiếu trực giao $P_k, P_{k+1}, ..., P_{k+n_j}$ là bằng $P_j$. Đặt $R_s = P_sP_{s-1} ... P_0$ với mọi $s \in \mathbf{N}$. a) Với mọi $x \in E$, đặt $x_s = R_s.x$. Chứng minh rằng $\sum_s \|x_{s-1} - x_s\|^2 \leq \|x\|^2$, và suy ra rằng với mọi số nguyên $r \geq 1$, $x_{s+r} - x_s$ tiến tới 0 khi s tiến tới $+\infty$. b) Cho $(x_{s_k})$ là một dãy trích từ $(x_s)$ tiến tới một giới hạn $y$ yếu; khi đó mọi dãy $(x_{s_k+r_k})$ cũng tiến tới $y$ yếu. Suy ra rằng $y$ thuộc về mỗi không gian con $M_j = P_j(E)$. (Với mỗi $j$, tồn tại $r_k$ sao cho $0 \leq r_k \leq n_j$ và $s_k + r_k = j$; chứng minh rằng dãy $(x_{s_k+r_k})$ tiến tới $y$ yếu.) c) Chứng minh rằng dãy $(x_s)$ hội tụ yếu tới phép chiếu trực giao từ x lên giao M của các $M_j$. (Rút gọn về trường hợp $M = \{0\}$, và sử dụng b) và tính compact yếu của mọi quả cầu đóng trong E.)