Bài tập 3, § 7

Cho X là một không gian compact khác rỗng, $\mathscr{P}$ là một tập hợp các hàm số hạ nửa liên tục trên X, nhận các giá trị trong $]-\infty, +\infty]$; giả sử rằng $\mathscr{P}$ chứa các hằng hữu hạn. Một điểm $x \in X$ được gọi là $\mathscr{P}$-*cực biên* nếu độ đo $\varepsilon_x$ là cực tiểu đối với quan hệ tiền thứ tự $\mu \prec \nu$ [^1]; tập hợp các điểm $\mathscr{P}$-cực biên được ký hiệu là $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$.

a) Chứng minh rằng nếu $\mathscr{P}'$ là tập hợp các tổ hợp tuyến tính $\sum_i c_i h_i$ của các hàm thuộc $\mathscr{P}$ với các hệ số $\geqslant 0$, thì các điểm $\mathscr{P}$-cực biên trùng với các điểm $\mathscr{P}'$-cực biên.

b) Đối với một điểm $x \in X$, chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) $x$ là $\mathscr{P}$-cực biên. β) Với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $h \in \mathscr{P}'$ sao cho $f \leqslant h$ và $h(x) \leqslant f(x) + \varepsilon$. γ) Với mọi lân cận mở U của $x$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một hàm $h \geqslant 0$ thuộc $\mathscr{P}'$ sao cho $h(x) \leqslant \varepsilon$ và $h(y) \geqslant 1$ với mọi $y \in X - U$. (Dùng Bài tập 2 b).)

Hơn nữa, chứng minh rằng tập hợp các điểm của $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$ mà tại đó ít nhất một hàm thuộc $\mathscr{P}$ đạt cực tiểu của nó trong X là trù mật trong $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$.

c) Một tập con F của X được gọi là $\mathscr{P}$-*ổn định* nếu nó đóng và nếu các quan hệ $\lambda \prec \mu$ và $\mathrm{Supp}(\mu) \subset F$ kéo theo $\mathrm{Supp}(\lambda) \subset F$. Chứng minh rằng nếu $u \in \mathscr{P}$ và nếu $F'$ là tập hợp các điểm của F tại đó $u$ đạt cực tiểu của nó trong F, thì tập hợp $F'$ là $\mathscr{P}$-ổn định.

d) Giả sử thêm rằng $\mathscr{P}$ tách các điểm của X. Chứng minh rằng với mọi hàm $h \in \mathscr{P}$, tập hợp $S_h$ gồm các điểm của X tại đó $h$ đạt cực tiểu của nó trong X giao với $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$. (Xét một tập con $\mathscr{P}$-ổn định cực tiểu chứa trong $S_h$ và dùng c) để chứng minh rằng tập con như vậy thu về một điểm duy nhất.)

e) Với cùng các giả thiết như trong d), hãy chỉ ra rằng để một tập con đóng F của X chứa $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$, điều kiện cần và đủ là với mọi hàm $h \in \mathscr{P}'$, F giao với tập $S_h$ các điểm tại đó $h$ đạt giá trị cực tiểu của nó trong X (hãy sử dụng b)). Từ đó, suy ra rằng để $a \in X$ thuộc bao đóng của $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$, điều kiện cần và đủ là với mọi lân cận mở U của $a$, tồn tại $h \in \mathscr{P}'$ và $b \in U$ sao cho $h(b) < h(x)$ với mọi $x \in X - U$ (nói cách khác, $S_h \subset U$).

f) Dưới các giả thiết của d), một tập con A của X được gọi là một cạnh $\mathscr{P}$ nếu, với mọi hàm $h \in \mathscr{P}'$, $S_h$ giao với A. Lấy X là hợp, trong $\mathbf{R}^2$, của hai đường tròn có các tâm tương ứng $(-1,0)$ và $(1,0)$ và có bán kính 1, và lấy $\mathscr{P}$ là tập các hạn chế lên X của các hàm tuyến tính afin trên $\mathbf{R}^2$. Hãy chỉ ra rằng $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$ gồm các điểm $(\xi,\eta)$ của X sao cho $|\xi| \geq 1$. Nếu $a$ là điểm cực trị $\mathscr{P}$ $(1,1)$, hãy chỉ ra rằng tồn tại một lân cận U của $a$ sao cho không có hàm $h \in \mathscr{P}'$ nào thỏa mãn $h \geq 0$, $h(a) = 0$ và $h(y) \geq 1$ trên $X - U$. Nếu A và $A'$ lần lượt là các phần bù trong $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$ của các điểm $(1,1)$ và $(-1,1)$, thì A và $A'$ là các cạnh $\mathscr{P}$ nhưng điều tương tự không đúng với $A \cap A'$; do đó không có cạnh $\mathscr{P}$ nhỏ nhất.

g) Cho Y là một không gian compact thứ hai, $\mathscr{Q}$ là một tập các ánh xạ nửa liên tục dưới từ Y vào ]$-\infty, +\infty$], chứa các hằng hữu hạn. Cho $\mathscr{H}$ là tập các hàm $h = f \otimes g$ với $f \in \mathscr{P}$ và $g \in \mathscr{Q}$; hãy chỉ ra rằng $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X \times Y) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X) \times \mathrm{Ch}_{\mathscr{Q}}(Y)$.

[^1]: Định nghĩa của phần tử cực đại (hoặc cực tiểu) trong một tập hợp có thứ tự (S, III, §1, No. 6) mở rộng ngay lập tức sang các tập hợp tiền thứ tự.