Bài tập 12, § 2

Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 2$ và cho $p$ là một số nguyên tố $> n/2$. Cho H là một nhóm con của $\mathfrak{S}_n$ tác động bắc cầu trên ${1, . . . , n}$, chứa một phép đổi chỗ và một chu trình cấp $p$. Cho G là một đồ thị sao cho

– Tập hợp các đỉnh của nó là $S ={1, . . . , n}$;

– Tập F các mũi của nó là tập các cặp $(i, j)\in S\times S$ sao cho phép đổi chỗ $\tau_{i,j}$ thuộc về H ;

– Ta có $o((i, j)) =i,t((i, j)) =j$ và $(i, j) = (j, i)$ với mọi $(i, j)\in F$. a) Chứng minh rằng mọi thành phần liên thông của G đều là một đồ thị đầy đủ. b) Chứng minh rằng nếu G liên thông, thì $H =\mathfrak{S}_n$.

c) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu nhóm từ $\mathfrak{S}_n$ vào Aut(G) sao cho, với mọi $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, ánh xạ Som($\sigma$ ) bằng phép hoán vị $\sigma$. Sau đó chứng minh rằng $\mathfrak{S}_n$ tác động bắc cầu trên tập hợp các thành phần liên thông của G, và rằng chúng đẳng cấu từng đôi một.

d) Cho $\sigma \in H$ là một chu trình cấp $p$. Chứng minh rằng $\sigma$ ổn định mỗi thành phần liên thông của G. Kết luận rằng $H =\mathfrak{S}_n$.