Hướng dẫn sử dụng

1. Trước hết, bộ sách trình bày toán học và đưa ra các chứng minh đầy đủ. Do đó, về nguyên tắc, việc đọc bộ sách không đòi hỏi một kiến thức toán học đặc biệt nào, mà chỉ đòi hỏi một sự quen thuộc nhất định với lập luận toán học và một năng lực trừu tượng hóa nhất định. Tuy nhiên, bộ sách đặc biệt dành cho những độc giả có ít nhất một kiến thức tốt về các môn học được giảng dạy trong một hoặc hai năm đầu đại học.

2. Phương pháp trình bày được tuân theo là tiên đề và thường đi từ cái tổng quát đến cái riêng. Những yêu cầu của chứng minh đòi hỏi các chương, về nguyên tắc, phải nối tiếp nhau theo một cấp lôgic được xác định chặt chẽ. Vì vậy, tính hữu ích của một số xét sẽ chỉ xuất hiện đối với độc giả khi đọc các chương sau, trừ khi người đó đã có kiến thức đủ rộng.

3. Bộ sách được chia thành các Quyển và mỗi Quyển thành các chương. Các Quyển hiện đã được xuất bản, toàn bộ hoặc từng phần, là:

LÝ THUYẾT TẬP HỢP ký hiệu bởi E

Đại số — A

Tôpô Đại cương — TG

Hàm một biến thực — FVR

Không gian vectơ tôpô — EVT

Tích phân — INT

Đại số giao hoán — AC

Đa tạp khả vi và giải tích — VAR

Nhóm Lie và đại số Lie — LIE

vii

Các lý thuyết phổ — TS

Tôpô Đại số — TA

Trong sáu Quyển đầu (theo thứ tự đã chỉ ra ở trên), mỗi mệnh đề chỉ sử dụng các định nghĩa và kết quả đã được trình bày trước đó trong chương hiện tại hoặc trong các chương trước theo thứ tự sau: E ; A, các chương I đến III ; TG, các chương I đến III ; A, các chương IV và tiếp theo ; TG, các chương IV và tiếp theo ; FVR ; EVT ; INT. Từ Quyển thứ bảy trở đi, độc giả sẽ thấy, có thể ở đầu mỗi Quyển hoặc mỗi chương, chỉ dẫn chính xác về các Quyển hoặc các chương khác được sử dụng (sáu Quyển đầu luôn được giả định là đã biết).

4. Tuy nhiên, có một vài đoạn là ngoại lệ đối với các quy tắc trên. Chúng được đặt giữa hai dấu sao$:*. . . .*$ . Trong một số trường hợp, điều này chỉ nhằm tạo thuận lợi cho việc hiểu văn bản bằng những ví dụ quy chiếu đến các sự kiện mà độc giả có thể đã biết ở nơi khác. Đôi khi, không chỉ các kết quả được giả định là đã biết trong toàn bộ chương hiện tại được sử dụng, mà cả các kết quả đã được chứng minh ở nơi khác trong bộ sách cũng được sử dụng. Các đoạn này sẽ được sử dụng tự do trong những phần giả định là đã biết các chương nơi các đoạn này được chèn vào và các chương mà các đoạn này quy chiếu đến. Chúng tôi hy vọng độc giả có thể kiểm tra rằng không có vòng lặp luẩn quẩn nào.

5. Một số Quyển (dù đã xuất bản hay đang chuẩn bị) có kèm theo các tập kết quả. Các tập này chứa những định nghĩa và kết quả cốt yếu của Quyển, nhưng không có chứng minh.

6. Khung lôgic của mỗi chương được cấu thành bởi các định nghĩa, tiên đề và định lý của chương đó; đây là những điều chủ yếu cần ghi nhớ nhằm phục vụ cho những gì tiếp theo. Những kết quả ít quan trọng hơn, hoặc những kết quả có thể dễ dàng suy ra lại từ các định lý, xuất hiện dưới tên gọi “mệnh đề”, “bổ đề”, “hệ quả”, “nhận xét”, v.v.; những kết quả có thể bỏ qua khi đọc lần đầu được in bằng chữ nhỏ. Dưới tên gọi “chú giải”, đôi khi người ta sẽ tìm thấy một lời bình luận về một định lý đặc biệt quan trọng.

Để tránh những sự lặp lại tẻ nhạt, đôi khi người ta quy ước đưa vào một số ký hiệu hoặc một số viết tắt chỉ có giá trị trong một chương hoặc một đoạn duy nhất (chẳng hạn, trong một chương mà mọi vành đều giao hoán, người ta có thể quy ước rằng từ “vành” luôn có nghĩa là “vành giao hoán”). Những quy ước như vậy được nêu tường minh ở đầu chương hoặc đoạn mà chúng được áp dụng.

viii

7. Một số đoạn nhằm bảo vệ độc giả khỏi những sai lầm nghiêm trọng mà họ có thể mắc phải; các đoạn này được chỉ ra ở lề bằng dấu ☡ (“khúc quanh nguy hiểm”).

8. Các bài tập nhằm, một mặt, giúp độc giả kiểm tra rằng mình đã lĩnh hội đúng văn bản; mặt khác, làm cho độc giả quen thuộc với những kết quả không có chỗ trong văn bản; những bài tập khó nhất được đánh dấu bằng dấu $\P$.

9. Thuật ngữ được sử dụng trong bộ sách này đã được đặc biệt chú ý. Người ta đã cố gắng không bao giờ rời khỏi thuật ngữ được chấp nhận nếu không có những lý do hết sức nghiêm túc.

10. Người ta đã cố gắng sử dụng, mà không hy sinh tính đơn giản của cách trình bày, một ngôn ngữ hoàn toàn chính xác. Trong chừng mực có thể, những lạm dụng ngôn ngữ hoặc ký hiệu, nếu không có chúng thì bất kỳ văn bản toán học nào cũng có nguy cơ trở nên mô phạm và thậm chí không thể đọc được, đã được chỉ ra khi đang trình bày.

11. Vì văn bản dành cho việc trình bày giáo điều một lý thuyết, các tài liệu tham khảo thư mục chỉ xuất hiện trong những trường hợp ngoại lệ; đôi khi chúng được tập hợp trong các Ghi chú Lịch sử. Thư mục sau mỗi Ghi chú này phần lớn chỉ chứa những sách và hồi ký nguyên thủy có tầm quan trọng lớn nhất trong sự phát triển của lý thuyết đang xét; nó hoàn toàn không nhằm mục đích đầy đủ.

Đối với các bài tập, nói chung người ta không thấy cần thiết phải chỉ ra nguồn gốc của chúng, vốn rất đa dạng (các hồi ký nguyên thủy, các công trình sư phạm, các tuyển tập bài tập).

12. Trong ấn bản mới, các tham chiếu đến các định lý, tiên đề, định nghĩa, nhận xét, v.v. về nguyên tắc được cho bằng cách lần lượt chỉ ra Quyển (bằng chữ viết tắt tương ứng với nó trong danh sách ở No.$^o3$), chương và trang nơi chúng được tìm thấy. Trong cùng một Quyển, người ta bỏ qua việc nhắc đến Quyển này; chẳng hạn, trong Quyển Đại số,

E, III, p. 32, hệ quả 3

ix chỉ hệ quả 3 được tìm thấy trong Quyển LÝ THUYẾT TẬP HỢP, chương III, trang 32 của chương đó;

II, p. 24, mệnh đề 17

chỉ mệnh đề 17 của Quyển Đại số, chương II, trang 24 của chương đó.

Các tập kết quả được ký hiệu bằng chữ R; chẳng hạn: EVT, R có nghĩa là “tập kết quả của Quyển về Không gian vectơ tôpô”.

Vì một số Quyển nhất định sẽ được xuất bản sau trong ấn bản mới, các tham chiếu đến những Quyển này được thực hiện bằng cách lần lượt chỉ rõ Quyển, chương, đoạn và số nơi cần tìm kết quả đang xét; chẳng hạn:

AC, III, § 4, n$^o5$, hệ quả của mệnh đề 6.

x