介绍 · 积分

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介绍

量值的概念在日常生活（长度、面积、体积、权）和实验科学（电荷、磁质量等）中都是基础概念。公共的如此不同量级的“措施”的特征在于数与满足某些条件的每个空间部分的关联，这样，对于两个这样的部分的并（假设没有公共的点），有对应数的和分配给每个人（测量的可加性）（*）。此外，测量值通常为正数，这意味着它是测量的空间部分的递增函数 (**)。另一方面，我们可以观察到，在实践中，人们几乎不会担心指定空间的哪些部分被视为“可测量”；当然，在每一种数学测量理论中明确解决这个问题都是必不可少的。对于例，这是在初等几何中当定义多边形面积或多面体体积时所做的事情；在所有这些情况下，“可测量”集合的族自然必定是这样的：其中任何两个在公共的中没有点的并也是“可测量的”。

在上面的大多数例中，空间的一部分的度量随着其直径趋于0：传统上，点“没有长度”，这意味着它包含在任意小的长度区间中，因此只能分配给它长度0；如此大规模的措施据说是“分散的”。然而，力学和物理学的发展已经引入了概念的量级，而一个可以忽略不计的维数的物体可能会产生维数的量级。

(*) $a$ 先验并不明显，不同的类震级可以用相同的数来测量，毫无疑问，通过深化震级测量的概念，希腊人得出了震级比理论，相当于实数 $> 0$ （cf.GT，第V, §2和IV 的历史注记）。

(**) 对于例，这不适用于物体的电荷；然而，总电荷的量度可以被视为正电荷的量度和负电荷的量度的差，这两者都是正的量度。

仍然有不可忽视的衡量标准：引力或电的“点质量”，说实话，这在很大程度上是数学虚构的，而不是严格的实验概念。因而，在数学中，人们会考虑如下定义的度量：对于有限集合 F 的每个点 $a_i$ ( $1 \leq i \leq n$ )，都附加有数 $m_i$ ，其“质量”或其“权”，并且任意集合 A 的度量为点 $a_i$ 中群众 $m_i$ 的和即属于到A。

与度量概念密切相关的是加权和。 For example, consider in space a finite number of masses (gravitational or electrical) $m_i$ placed at points $a_i$ (with coordinates $x_i, y_i, z_i$ ); the component along Oz (for example) of the attraction exerted on a point b (with mass 1 and coordinates $\alpha, \beta, \gamma$ ) by the set of these masses is (for a suitable system of units) the sum

\sum_i m_i \frac{(z_i - \gamma)}{r_i^3},

$r_i^2 = (x_i - \alpha)^2 + (y_i - \beta)^2 + (z_i - \gamma)^2$ 是点 $a_i$ 和b之间的距离的平方。在其他字中，考虑函数中的值

f(x, y, z) = \frac{z - \gamma}{\left( (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 + (z - \gamma)^2 \right)^{3/2}}

在每个点 $a_i$ ，将其乘以该点的“权”，并将由此获得的 $f$ 的“加权值”乘以和。众所周知，这样的和不断地介入力学：中心重力和惯性矩是最著名的例。

如果有人想将点质量的情况下的“加权和”的扩展概念转换为“扩散”测度，其中每个点都有测度零，那么你会发现自己面临着问题，这是一个如此矛盾的方面，这导致了积分演算：如何为具有无限多个项的“和”赋予含义，其中每个项单独计算为零。当吸引质量“连续分布”在整个体积V中时，让我们再次开始例计算施加在点上的吸引力。如果V分解为（成对不相交的）子集 $V_i$ 的有限数，则假设V对点b施加的吸引力沿Oz的分量是和由每个 $V_i$ 。但是，如果每个 $V_i$ 的直径很小，则连续的函数 $f(x, y, z)$ 在 $V_i$ 中变化很小，并且可以将 $V_i$ 所施加的吸引力比作点质量所施加的吸引力，该质量等于 $V_i$ 的质量 $m_i$ 并放置在任意位置体积 $V_i$ 的点 $a_i$ 。因而，人们会采取“黎曼和” $\sum_i m_i f(x_i, y_i, z_i)$ 作为所寻求的数的近似值；为了从数学点的角度证明这一点，自然必须证明当 $V_i$ 的最大直径趋于0时，这些近似值趋于极限，这是函数 $f$ 在 $V$ 中一致连续性的简单推论（假设 $V$ 是紧凑的，点 $b$ 不在 $V$ 中）。

It is known that the 'method of exhaustion' of the Greeks and 'Cavalieri's principle' for the systematic calculation of plane areas and of volumes are based on an analogous procedure, by the decomposition into 'slices' of the areas and volumes considered; the 'weighted sums' thus arrived at are none other than the integrals $\int_a^b f(x)\, dx$ (cf. the Historical Note for Chs. 书IV的I–III）。在这里，恰好 $f$ 的一致连续性暗示了“黎曼和”的极限的存在；更一般地，它意味着类似的和 $\sum_i f(\xi_i)(g(x_{i+1}) - g(x_i))$ ( $x_i \leq \xi_i \leq x_{i+1}$ ) 存在极限，其中 $g$ 仅被假定为有界函数，即 $[a, b]$ 上的递增。这个极限，表示为 $\int_a^b f(x)\, dg(x)$ ，称为 $f$ 相对于 $g$ 的*Stieltjes积分*，可以被视为函数 $f$ 的“加权和”，用于半开区间集合上定义的测度 $\mu$ $]\alpha, \beta]$ 由公式 $\mu([\alpha, \beta]) = g(\beta+) - g(\alpha+)$ ；它不再像积分 (*) 的通常概念那样与微分演算紧密联系。

对于分别与平面面积和体积的测量相关的经典“双”和“三重”积分也是如此。然而，所有这些积分的概念都是相互关联的，不仅是通过它们的定义，而且还通过以下特征：连续数值函数 $f$ 在直线、平面或3维的某个紧凑子集 $K$ 上的“积分” $\mu(f)$ 空间，是数与 $K$ 上连续函数的空间 $\mathscr{C}(K)$ 的元素 $f$ 相关联；因此， $f \mapsto \mu(f)$ 是 $\mathscr{C}(K)$ 的映射到 $\mathbf{R}$ （有时称为“泛函”），即：1° 线性（即，对于所有标量 $\alpha, \beta$ 和连续函数 $f, g$ ， $\mu(\alpha f + \beta g) = \alpha \mu(f) + \beta \mu(g)$ ）； 2° 正（即，对于每个连续的函数 $f \geq 0$ ， $\mu(f) \geq 0$ ）。

值得注意的是，相反，这两个属性足以表征区间 $[a, b]$ （F. Riesz 的定理）上的 Stieltjes 积分。如果是这样，那是因为，从连续函数的积分值开始，我们可以“重建”产生它的测度。这相当于（如果我们将 $\int_a^b f(x)\, dx$ 解释为平面区域）计算间隔*的*特征函数的积分，假设已知连续函数。在其他项中，这是一个以适当的方式*扩展*函数的泛函 $\mu(f)$ 到集合的问题

() 特别是，如果将 $g$ 视为递增且右连续的步骤函数*，则相应的 Stieltjes积分正是 $f$ 对于点质量 $m_i = g(a_i+) - g(a_i-)$ 放置在点处的加权和 $g$ 的不连续性 $a_i$ 。

包含 $\mathscr{C}(K)$ 并且足够大到包含还有特征函数的间隔。

有几个方法可以完成这个扩张；概念函数空间最有趣的吸引力之一。人们知道，在空间 $\mathbf{R}^n$ 、范数 $\|x\|_\infty = \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ 和 $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$ 定义上，拓扑是相同的。通过“从有限到无限的经过”，人们会考虑在 $\mathbf{R}$ 的紧凑区间 $K = [a, b]$ 上的连续函数的空间 $\mathscr{C}(K)$ 上，范数 $\|f\|_\infty = \sup_{x \in K} |f(x)|$ 和 $\|f\|_1 = \int_a^b |f(x)| dx$ （或者在a的情况下为 $\int_a^b |f| dg$ ） Stieltjes 积分）。但在这里，这两个范数定义的拓扑是不同的，空间 $\mathscr{C}(K)$ 对于第一个范数（GT，X, §1, No. 6，Th.2的Cor.1）来说是完整的，对于第二个范数来说不再是完整的。更准确地说，对于范数 $\|f\|_1$ ， $\mathscr{C}(K)$ 的完成的一个可以确定元素，其中类不一定是连续的函数，并且积分的扩张可以通过简单地通过*通过连续性*扩展定义于上的泛函 $\mu(f)$ 来获得 $\mathscr{C}(K)$ ，完成此空间（此过程的技术细节在第IV中公开）。当然，我们假设连续函数的积分是从测度开始定义的（通过上面回顾的“黎曼和”的过程）；要获得 F. Riesz 的定理，需要以相同的方式进行操作，但将范数定义为 $\mu(|f|)$ ，其中 $\mu(f)$ 是在 $\mathscr{C}(K)$ 上定义的正线性函数。

我们刚刚描绘的扩张的方法不仅通向Riesz的定理，而且在加法中它允许定义函数的类的积分，比区间的特征函数“更加不连续”；考虑到集合的特征函数是“可积”函数，它允许同时将最初仅针对区间给出的度量扩展到相应的集合，扩展为设定 $\mu(A) = \mu(\varphi_A)$ ；这个扩张当然保留了测度的可加性和正性的基本属性。

前面讨论的是直线上的 Stieltjes 积分，但是扩张的方法立即转移到平面或空间中或曲线或曲面上定义的度量。更一般地，在分析证明时，人们认为它们实际上对于在连续函数的空间 $\mathscr{K}(X)$ 上定义的每个正线性函数在任意*局部紧凑空间* $X$ 上有效，其中每个零在紧凑子集之外（取决于特定的函数）。

因此，积分理论适用的空间范畴自然包括数值空间、 $\mathbf{R}^n$ 以及流形；它还包括离散的空间（其中积分理论与实数（GT，IV, §7）的可求和族的理论合并），以及与 $\mathbf{R}$ 区间或有限集合相同的紧凑空间的乘积（有限或无限）；稍后我们将会看到，关于这种乘积的测度论在概率的演算中发挥着重要作用。

一般局部紧致空间的测度概念扩张在*局部紧致群*理论中表现得特别丰富；一般地，在拓扑代数中，每当人们想要“从有限到无限”时，积分的概念似乎都是正确的工具，也就是说，将出现*有限*和的纯代数的过程推广到“求和”必须处理无限数的情况项。对于例，已知(A，III, §2)有限群* $G$ *代数的元素(超过域 $\mathbf{R}$ )为 $G$ 的映射 $s \mapsto \alpha(s)$ 入 $\mathbf{R}$ ，其中乘法律 $\alpha * \beta = \gamma$ ，其中 $\gamma$ 是函数定义为

\gamma(s) = \sum_{t \in G} \alpha(t) \beta(t^{-1} s) .

对于任意局部紧凑群 $G$ ，这个代数的自然推广是 $G$ 的映射的集合到 $\mathbf{R}$ 中，对于 $G$ 上的某个特殊测度 $\mu$ 可积分（“Haar”测量'），代数中的乘法由下式给出

(f * g)(s) = \int f(t) g(t^{-1} s) \, d\mu(t) .

Moreover, once embarked on this path, one is quickly annoyed by the obligation to 'sum' only functions with real values; in many cases, it is useful to know how to define the integral of functions that are defined on $X$ and take values in a topological vector space over $\mathbf{R}$ , for example a Banach space or a space of operators on a Banach space. 人们确定这个扩张可以很容易地得到，而不需要对积分理论进行任何深刻的修改。

在前面的草图中，*连续* 函数发挥了主导作用；人们很自然地会问，度量的概念实际上是否以一种本质的方式与定义它的集合 $X$ 上的拓扑的存在联系在一起。对理论的仔细研究表明，情况并非如此，扩张的方法也适用于在*任意* 集合 $X$ 上定义的数值函数的向量空间 $\mathscr{V}$ 由……组成上定义的正线性函数 $\mu(f)$ ，通过对 $\mathscr{V}$ 和 $\mu(f)$ 征收某些补充条件；当 $\mathscr{V}$ 是具有紧凑支撑的连续函数的空间 $\mathscr{K}(X)$ 时，这些条件会“自动”得到满足，但在更一般的情况下它们也会得到满足。然而，这种更大的普遍性在某些方面是虚幻的：实际上，可以证明每个“抽象测度”在某种意义上都与在适当的局部紧凑空间上定义的测度（从连续函数开始）“同构的”；另一方面，大多数应用程序都与配备拓扑的集合X有关，自然介入此事；因此，在章IX之前，我们将专门采用*局部紧凑空间*上定义的措施。

前两个章是该理论的初步准备：它们致力于扩张基础不等式的证明，以及某些有序向量空间、*Riesz空间*的研究，它们在后面的几个问题中发挥了重要作用。

局部紧致空间的测度概念在章III中定义；我们取 Riesz 出发定理的点，从而变为定义：连续函数的积分因此被定义为之前集合的度量，作为 $\mathscr{K}(X)$ 上的正线性函数。这种演示提供了一定的技术优势（特别是由于连续的函数形式向量空间，而特征函数或集合的情况并非如此）；此外，正是在 $\mathscr{K}(X)$ 上的泛函的形式中，积分自然地出现在许多问题中。最后， $\mathscr{K}(X)$ （我们再次将其称为X上的*测量*）上的两个正线性函数的差异可以表征为 $\mathscr{K}(X)$ 满足上的线性形式某些*连续性*条件；因此，积分理论一方面与拓扑向量空间（cf.书V）中的一般对偶理论相关，另一方面与*分布*理论相关，后者概括了测度概念的某些方面，我们将在后面的书中对此进行阐述。

章 IV专用于积分的*扩张*；其中定义了可积函数和集合的度量，以及函数空间 $L^p$ ，它们在应用中的重要性相当大；其中还显示了*可测量的函数*概念的引入如何导致方便的判据可积。

在接下来的两个章中，我们将看到可测量的函数也以“密度”的形式出现，从而使人们能够从给定的测量开始对空间X进行定义新测量。这项研究特别导致了 $L^p$ 空间的对偶理论的重要结果，也与*矢量测度*的概念相关，在最有利的情况下，可以将其纳入矢量值函数的积分理论（相对于正测度）。

我们还将发展可以被认为是“分解成平面面积和体积切片”这一理念的现代顶峰，这是由积分演算的创始人引入的：在某些条件下，空间X的测量可以分解为“和”的测量，每个测量都由一个空间 X 的“切片”（即相对于某个关系 R 的等价类）；此外，这样的分解允许计算函数相对于原始测量的积分，首先对“每个切片”进行积分，然后在商空间X/R（“双的推广”上积分（相对于合适的测量）所得的函数）一个家庭的和的总和，其中指标超过了乘积集合）。

章VII致力于研究局部紧凑群上的Haar测度，其特征在于，直到标量倍数，性质在群的每个左平移下保持不变。

在章VIII中，度量卷积被暴露出来，这个概念在现代泛函数学分析中扮演了第一个阶的角色。

章 IX 致力于 Hausdorff 拓扑空间中的积分，该拓扑不一定是局部紧致的，特别是在局部凸向量空间中；值得注意的是，这允许将傅里叶变换理论的扩张转化为后者空间。早期截面中选择的阐述模式在于尽可能地减少到早期章中处理的紧凑空间的情况。