习题 7, § 9

a) Give an example of an inverse system $(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$ of quasi-compact spaces whose inverse limit is empty (observe that in the space of Example 2 of no. 1, every subspace is quasi-compact).

b) 设 $p$ 为素数数。令$Z_n$表示有理整数的集合$\mathbf{Z}$，用$\mathbf{Z}$的典范映射下的离散拓扑的逆像拓扑到$\mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}$。如果$m \leq n$，令$f_{mn}$表示恒等映射$Z_n \to Z_m$，它是连续的。证明空间 $Z_n$ 是拟紧的，但逆系 $(Z_n, f_{mn})$ 的逆极限不是拟紧的 (*)。