Exercice 6, Annexe 0

Une relation d’une théorie $\mathscr{T}$ est dite logiquement irréductible si elle commence par un signe spécifique. Soient $R_1,R_2,\ldots,R_n$ des relations logiquement irréductibles distinctes de $\mathscr{T}$. On appelle construction logique de base $R_1,R_2,\ldots,R_n$, toute suite $A_1,A_2,\ldots,A_p$ d’assemblages de $\mathscr{T}$ tels que, pour chaque $A_i$, l’une des conditions suivantes soit vérifiée : 1° $A_i$ est l’une des relations $R_1,R_2,\ldots,R_n$ ; 2° il existe un assemblage $A_j$ précédant $A_i$ tel que $A_i$ soit $\neg A_j$ ; 3° il existe deux assemblages $A_j$ et $A_k$ précédant $A_i$ tels que $A_i$ soit $V A_j A_k$.

a) Montrer que les assemblages d’une construction logique de base $R_1,R_2,\ldots,R_n$ sont des relations de $\mathscr{T}$. On appelle relation logiquement construite sur $R_1,R_2,\ldots,R_n$ une relation qui figure dans une construction logique de base $R_1,R_2,\ldots,R_n$.

b) Si $R$ et $S$ sont logiquement construites sur $R_1,R_2,\ldots,R_n$, il en est de même de $\neg R$, $VRS$, $\Rightarrow RS$, « $R$ et $S$ », $R\Leftrightarrow S$.

c) Soit $R$ une relation de $\mathscr{T}$. On considère la suite des relations définie de la façon suivante. On écrit d’abord $R$ ; si $R$ est logiquement irréductible, la construction est terminée. Sinon, on écrit le ou les assemblages antécédents à $R$ (qui sont des relations bien déterminées). Puis on écrit, s’il y a lieu, le ou les assemblages antécédents à ceux des assemblages précédents qui ne sont pas logiquement irréductibles. Etc. Soient $R_1,R_2,\ldots,R_n$ les relations logiquement irréductibles distinctes que fournit cette construction : on les appelle les composantes logiques de $R$. Montrer que $R$ est logiquement construite sur ses composantes logiques, mais que, si on ôte de la suite $R_1,R_2,\ldots,R_n$ une relation, $R$ n’est pas logiquement construite sur les relations restantes.

d) Soient $R$ une relation, $R_1,R_2,\ldots,R_n$ des relations logiquement irréductibles distinctes telles que : 1° $R$ est logiquement construite sur $R_1,R_2,\ldots,R_n$ ; 2° si on ôte une relation de la suite $R_1,R_2,\ldots,R_n$, $R$ n’est pas logiquement construite sur les relations restantes. Montrer que $R_1,R_2,\ldots,R_n$ sont les composantes logiques de $R$.