Exercice 9, § 6

a) Si R$\{x, y\}$ est une relation quelconque, « R$\{x, y\}$ et R$\{y, x\}$ » est une relation symétrique. A quelle condition est-elle réflexive dans un ensemble E? \* b) Soit R$\{x, y\}$ une relation symétrique et réflexive dans un ensemble E admettant un graphe contenu dans E $\times$ E. Soit S$\{x, y\}$ la relation « il existe un entier n > 0 et une suite $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ d'éléments de E telle que $x_0 = x, x_n = y$ et, pour tout indice i tel que $0 \leq i < n$, R$\{x_i, x_{i+1}\}$. Montrer que S$\{x, y\}$ est une relation d'équivalence dans E, et que son graphe est le plus petit des graphes d'équivalence dans E contenant le graphe de R. Les classes d'équivalence suivant S sont appelées les composantes connexes de E pour la relation R. c) Soit $\mathfrak{F}$ l'ensemble des parties A de E telles que, pour tout couple d'éléments (y, z) tels que $y \in A, z \in E - A$, on ait « non R$\{y, z\}$ ». Pour tout $x \in E$, montrer que l'intersection des ensembles $A \in \mathfrak{F}$ tels que $x \in A$ est la composante connexe de x pour la relation R. \*