Exercice 11, § 1

On dit qu'un ensemble réticulé E est achevé si toute partie de E admet une borne supérieure et une borne inférieure dans E, ce qui entraîne en particulier que E admet un plus grand et un plus petit élément. a) Montrer que si un ensemble ordonné E est tel que toute partie de E admette une borne supérieure dans E, E est un ensemble réticulé achevé. b) Pour qu'un produit d'ensembles ordonnés soit réticulé achevé, il faut et il suffit que chacun des ensembles facteurs le soit. c) Pour qu'une somme ordinaire (III, p. 69, exerc. 3) $\sum_{t \in I} E_t$ soit un ensemble réticulé achevé, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées: I) I est un ensemble réticulé achevé. II) Si J est une partie de I qui n'a pas de plus grand élément, et si $\sigma = \sup J$, $E_\sigma$ a un plus petit élément. III) Pour tout $i \in I$, toute partie de $E_i$ majorée dans $E_i$ a une borne supérieure dans $E_i$. IV) Pour tout $i \in I$ tel que $E_i$ n'admette pas de plus grand élément, l'ensemble des $x > i$ a un plus petit élément $\alpha$ et $E_\alpha$ admet un plus petit élément. d) Pour que l'ensemble ordonné $\mathscr{A}(E, F)$ des applications croissantes d'un ensemble ordonné E dans un ensemble ordonné F (III, p. 70, exerc. 6) soit réticulé achevé, il faut et il suffit que F soit réticulé achevé.