Bài tập 11, § 1

Một dàn E được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con của E đều có một cận trên nhỏ nhất và một cận dưới lớn nhất trong E; điều này, đặc biệt, có nghĩa là E có một phần tử lớn nhất và một phần tử nhỏ nhất.

(a) Chứng minh rằng nếu một tập hợp có thứ tự E sao cho mọi tập con của E đều có một cận trên nhỏ nhất trong E, thì E là một dàn đầy đủ.

(b) Một tích của các tập hợp có thứ tự là một dàn đầy đủ khi và chỉ khi mỗi thừa số đều là một dàn đầy đủ.

(c) Một tổng thứ tự (Bài tập 3) $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ là một dàn đầy đủ khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(I) I là một dàn đầy đủ.

(II) Nếu J là một tập con của I không có phần tử lớn nhất, và nếu $\sigma = \sup J$, thì $E_\sigma$ có một phần tử nhỏ nhất.

(III) Với mỗi $\iota \in I$, mọi tập con của $E_\iota$ có một cận trên trong $E_\iota$ đều có một cận trên nhỏ nhất trong $E_\iota$.

(IV) Với mỗi $\iota \in I$ sao cho $E_\iota$ không có phần tử lớn nhất, tập hợp tất cả các $\varkappa > \iota$ có một phần tử nhỏ nhất $\alpha$, và $E_\alpha$ có một phần tử nhỏ nhất.

(d) Tập hợp có thứ tự $\mathscr{A}(E, F)$ của các ánh xạ tăng từ một tập hợp có thứ tự E vào một tập hợp có thứ tự F (Bài tập 6) là một dàn đầy đủ khi và chỉ khi F là một dàn đầy đủ.