Exercice 17, § 1

On dit qu’un ensemble ordonné réticulé $E$ ayant un plus petit élément $\alpha$ est relativement complémenté si pour couple d’éléments $x, y$, de $E$ tels que $x \leq y$, il existe un élément $x'$ tel que sup(x, x') = y et inf(x, x') = α. Un tel élément x' est appelé un complément relatif de x par rapport à y. a) Montrer que l’ensemble E des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension $\geq 2$, ordonné par la relation d’inclusion, est réticulé et relativement complémenté, mais que pour deux éléments x, y de E tels que $x \leq y$, il existe en général plusieurs compléments relatifs distincts de x par rapport à y. b) Si E est distributif et relativement complémenté, montrer que, pour $x \leq y$ dans E, il existe un unique complément relatif de x par rapport à y. On dit que E est un réseau booléien s’il est distributif, relativement complémenté et en outre admet un plus grand élément $\omega$. Pour tout $x \in E$, soit alors $x^*$ le complément de x par rapport à $\omega$; l’application $x \mapsto x^*$ est un isomorphisme de E sur l’ensemble ordonné obtenu en munissant E de l’ordre opposé, et on a $(x^*)^* = x$. Pour tout ensemble A, l’ensemble $\mathfrak{P}(A)$ des parties de A, ordonné par inclusion, est un réseau booléien. c) Si E est un réseau booléien achevé (III, p. 71, exerc. 11), montrer que pour toute famille $(x_\lambda)$ d’éléments de E et tout $y \in E$, on a

(Se ramener au cas où $y = \alpha$, et utiliser le fait que si $\inf(z, x_\lambda) = \alpha$ pour tout indice $\lambda$, on a $z^* \geq x_\lambda$ pour tout $\lambda$).