Bài tập 17, § 1

Một dàn E có một phần tử nhỏ nhất $\alpha$ được gọi là có phần bù tương đối nếu, với mỗi cặp phần tử $x$, $y$ của E sao cho $x \leqslant y$, tồn tại một phần tử $x'$ sao cho $\sup\,(x, x') = y$ và $\inf\,(x, x') = \alpha$. Phần tử $x'$ như vậy được gọi là một phần bù tương đối của $x$ đối với $y$.

\* (a) Chứng minh rằng tập hợp E các không gian vectơ con của một không gian vectơ có chiều $\geqslant 2$, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm, là một dàn có phần bù tương đối, nhưng nếu $x$, $y$ là hai phần tử của E sao cho $x \leqslant y$, thì nói chung tồn tại nhiều phần bù tương đối phân biệt của $x$ đối với $y$. \*

(b) Nếu E là phân phối và có phần bù tương đối, chứng minh rằng nếu $x \leqslant y$ trong E, tồn tại duy nhất một phần bù tương đối của $x$ đối với $y$. E được gọi là một dàn Boolean nếu nó là phân phối và có phần bù tương đối, đồng thời hơn nữa nó có một phần tử lớn nhất $\omega$. Với mỗi $x \in$ E, gọi $x^*$ là phần bù của $x$ đối với $\omega$. Khi đó ánh xạ $x \to x^*$ là một đẳng cấu của E lên tập hợp có thứ tự thu được bằng cách trang bị cho E thứ tự đối, và ta có $(x^*)^* = x$. Nếu A là một tập hợp bất kỳ, thì tập hợp $\mathfrak{P}(\mathrm{A})$ gồm tất cả các tập con của A, được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm, là một dàn Boolean.

(c) Nếu E là một dàn Boolean đầy đủ (Bài tập 11), chứng minh rằng với mỗi họ $(x_\lambda)$ các phần tử của E và mỗi $y \in$ E ta có

(Rút gọn về trường hợp $y = \alpha$, và dùng sự kiện rằng nếu $\inf\,(z, x_\lambda) = \alpha$ với mọi chỉ số $\lambda$, thì $z^* \geqslant x_\lambda$ với mọi $\lambda$).