Exercice 19, § 1

On dit qu’un ensemble ordonné E est sans trou s’il contient deux éléments distincts comparables et si, pour tout couple d’éléments x, y de E tels que $x < y$, l’intervalle ouvert $]x, y[$ n’est pas vide. Montrer que pour qu’une somme ordinaire $\sum_{t \in I} E_t$ (exerc. 3) soit sans trou, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées: I) Ou bien I contient deux éléments distincts comparables, ou bien il existe $t \in I$ tel que $E_t$ contienne deux éléments distincts comparables. II) Chaque $E_t$ contenant au moins deux éléments distincts comparables est sans trou. III) Si $\alpha, \beta$ sont deux éléments de I tels que $\alpha < \beta$ et si l’intervalle $]\alpha, \beta[$ est vide dans I, alors, ou bien $E_\alpha$ n’a pas d’élément maximal, ou bien $E_\beta$ n’a pas d’élément minimal. En particulier, tout somme ordinaire $\sum_{t \in I} E_t$ d’ensembles sans trou est sans trou lorsque aucun $E_t$ n’a d’élément maximal (ou lorsque aucun des $E_t$ n’a d’élément minimal). Si I est sans trou, et si chacun des $E_t$ est sans trou ou ne contient aucun couple d’éléments distincts comparables, $\sum_{t \in I} E_t$ est sans trou.