Bài tập 19, § 1

Một tập hợp có thứ tự E được gọi là không có khe hở nếu nó chứa hai phần tử phân biệt so sánh được và nếu, với mỗi cặp phần tử $x$, $y$ sao cho $x < y$, khoảng mở $]x, y[$ không rỗng. Chứng minh rằng một tổng thứ tự $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ (Bài tập 3) là không có khe hở khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn :

(I) Hoặc I chứa hai phần tử phân biệt so sánh được, hoặc tồn tại $\iota \in I$ sao cho $E_\iota$ chứa hai phần tử phân biệt so sánh được.

(II) Mỗi $E_\iota$ chứa ít nhất hai phần tử phân biệt so sánh được đều không có khe hở.

(III) Nếu $\alpha$, $\beta$ là hai phần tử của I sao cho $\alpha < \beta$, và nếu khoảng $]\alpha, \beta[$ trong I là rỗng, thì hoặc là $E_\alpha$ không có phần tử cực đại, hoặc là $E_\beta$ không có phần tử cực tiểu.

Đặc biệt, mọi tổng thứ tự $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ của các tập hợp không có khe hở đều tự nó không có khe hở với điều kiện rằng không có $E_\iota$ nào có một phần tử cực đại (hoặc với điều kiện rằng không có $E_\iota$ nào có một phần tử cực tiểu). Nếu I không có khe hở, và nếu mỗi $E_\iota$ hoặc là không có khe hở hoặc chứa không có hai phần tử phân biệt so sánh được, thì $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ là không có khe hở.