Exercice 20, § 1

On dit qu’un ensemble ordonné E est dispersé si aucun sous-ensemble ordonné de E n’est sans trou (exerc. 19). Tout sous-ensemble d’un ensemble dispersé est dispersé. Tout ensemble bien ordonné ayant au moins deux éléments est dispersé. a) On suppose que E soit dispersé; alors, pour tout couple d’éléments x, y de E tels que $x < y$, il existe deux éléments $x', y'$ de E tels que $x \leq x' < y' \leq y$ et que l’intervalle $]x', y'[$ soit vide. Donner un exemple d’ensemble totalement ordonné vérifiant la condition précédente et qui n’est pas dispersé (considérer l’ensemble triadique de Cantor). b) Pour qu’une somme ordinaire $E = \sum_{t \in I} E_t$ (où I et les $E_t$ sont non vides) soit dispersée, il faut et il suffit que I et chacun des $E_t$ soient dispersés (remarquer que E contient un sous-ensemble isomorphe à I, et que tout sous-ensemble F de E est somme ordinaire des ensembles $F \cap E_t$ qui sont non vides; utiliser enfin l’exerc. 19).