Bài tập 20, § 1

Một tập hợp có thứ tự E được gọi là rải rác nếu không tập con sắp thứ tự nào của E là không có lỗ hổng (Bài tập 19). Mọi tập con của một tập hợp rải rác đều rải rác. \* Mọi tập được sắp thứ tự tốt có nhiều hơn một phần tử đều rải rác. \*

(a) Giả sử rằng E là rải rác. Khi đó, nếu $x$, $y$ là hai phần tử bất kỳ của E sao cho $x < y$, thì tồn tại hai phần tử $x'$, $y'$ của E sao cho $x \leqslant x' < y' \leqslant y$ và sao cho khoảng $]x', y'[$ là rỗng. \* Hãy cho một ví dụ về một tập sắp thứ tự toàn phần thỏa mãn điều kiện này và không rải rác (hãy xét tập tam phân của Cantor). \*

(b) Một tổng thứ tự $E = \sum_{\iota \in I} E_\iota$ (trong đó cả I lẫn mọi $E_\iota$ đều không rỗng) là rải rác khi và chỉ khi I và mỗi $E_\iota$ đều rải rác. (Chú ý rằng E chứa một tập con đẳng cấu với I và rằng mọi tập con F của E đều là tổng thứ tự của các tập $F \cap E_\iota$ không rỗng; sau hết hãy dùng Bài tập 19.)