Exercice 21, § 1

Soient E un ensemble non vide totalement ordonné, $S[x, y]$ la relation « l’intervalle fermé d’extrémités x, y est dispersé » (III, p. 73, exerc. 20). Montrer que S est une relation d’équivalence faiblement compatible (III, p. 69, exerc. 2) en x et y avec la relation d’ordre sur E, que les classes d’équivalence suivant S sont des ensembles dispersés, et que l’ensemble ordonné quotient E/S (III, p. 69, exerc. 2) est sans trou ou réduit à un élément. En déduire que E est isomorphe à une somme ordinaire d’ensembles dispersés, dont l’ensemble d’indices est sans trou ou réduit à un seul élément.