Exercice 4, § 1

Soit E un ensemble ordonné, et soit $(E_t)_{t \in I}$ la partition de E formée par les composantes connexes de E (II, p. 52, exerc. 10) pour la relation réflexive et symétrique « $x = y$ ou $x$ et $y$ ne sont pas comparables ». a) Montrer que si $t \neq \kappa$, $x \in E_t$ et $y \in E_\kappa$, $x$ et $y$ sont comparables et que si, par exemple, $x \leq y, y' \in E_\kappa$ et $y' \neq y$, on a aussi $x \leq y'$ (remarquer qu’il n’existe pas de partition de $E_\kappa$ en deux ensembles A, B tels que tout élément de A soit comparable à tout élément de B). b) Déduire de a) que la relation d’équivalence S correspondant à la partition $(E_t)$ de E est compatible (en $x$ et en $y$) avec la relation d’ordre $x \leq y$ dans E, et que l’ensemble ordonné quotient $E/S$ (III, p. 69, exerc. 2) est totalement ordonné. c) Quelles sont les composantes connexes d’un ensemble ordonné $E = F \times G$, produit de deux ensembles totalement ordonnés?