Bài tập 4, § 1

Cho E là một tập hợp có thứ tự, và gọi $(\mathrm{E}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là phân hoạch của E tạo bởi các thành phần liên thông của E (Chương II, § 6, Bài tập 10) đối với quan hệ phản xạ và đối xứng "hoặc $x = y$ hoặc $x$ và $y$ không so sánh được".

(a) Chứng minh rằng nếu $\iota \neq \varkappa$ và $x \in \mathrm{E}_\iota$ và $y \in \mathrm{E}_\varkappa$, thì $x$, $y$ so sánh được; và rằng nếu, chẳng hạn, $x \leqslant y$, $y' \in \mathrm{E}_\varkappa$, và $y' \neq y$, thì cũng có $x \leqslant y'$ (dùng sự kiện là không tồn tại phân hoạch của $\mathrm{E}_\varkappa$ thành hai tập hợp A và B sao cho mọi phần tử của A đều so sánh được với mọi phần tử của B).

(b) Suy ra từ (a) rằng quan hệ tương đương S tương ứng với phân hoạch $(\mathrm{E}_\iota)$ của E là tương thích (theo $x$ và theo $y$) với quan hệ thứ tự $x \leqslant y$ trên E, và tập hợp có thứ tự thương E/S (Bài tập 2) được sắp thứ tự toàn phần.

(c) Các thành phần liên thông của một tập hợp có thứ tự $\mathrm{E} = \mathrm{F} \times \mathrm{G}$ là gì, khi nó là tích của hai tập hợp được sắp thứ tự toàn phần ? \*