Exercice 5, § 1

Soit E un ensemble ordonné; on dit qu’une partie X de E est libre si deux éléments distincts quelconques de X sont incomparables. Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des parties libres de E. Montrer que, dans $\mathfrak{F}$, la relation « quel que soit $x \in X$, il existe $y \in Y$ tel que $x \leq y$ » est une relation d’ordre entre X et Y, notée $X \leq Y$. L’application $x \mapsto \{x\}$ est un isomorphisme de E sur une partie de l’ensemble ordonné $\mathfrak{F}$. Si $X \subset Y$ pour $X \in \mathfrak{F}$ et $Y \in \mathfrak{F}$, montrer que $X \leq Y$. Pour que $\mathfrak{F}$ soit totalement ordonné, il faut et il suffit que E soit totalement ordonné et $\mathfrak{F}$ est alors canoniquement isomorphe à E.