Bài tập 5, § 1

Cho E là một tập hợp có thứ tự. Một tập con X của E được gọi là tự do nếu không có hai phần tử phân biệt nào của X so sánh được với nhau. Gọi $\mathfrak{J}$ là tập hợp các tập con tự do của E. Hãy chứng minh rằng, trên $\mathfrak{J}$, quan hệ “với mọi $x \in \mathrm{X}$, tồn tại $y \in \mathrm{Y}$ sao cho $x \leqslant y$” là một quan hệ thứ tự giữa X và Y, ký hiệu là $\mathrm{X} \leqslant \mathrm{Y}$. Ánh xạ $x \to \{x\}$ là một đẳng cấu của E lên một tập con của tập hợp có thứ tự $\mathfrak{J}$. Nếu $\mathrm{X} \subset \mathrm{Y}$, trong đó $\mathrm{X} \in \mathfrak{J}$ và $\mathrm{Y} \in \mathfrak{J}$, hãy chứng minh rằng $\mathrm{X} \leqslant \mathrm{Y}$. Tập hợp có thứ tự $\mathfrak{J}$ được sắp thứ tự toàn phần khi và chỉ khi E được sắp thứ tự toàn phần, và khi đó $\mathfrak{J}$ đẳng cấu chính tắc với E.