Exercice 10, § 4

a) Pour qu’un ensemble ordonné E soit isomorphe à un sous-ensemble d’un produit de n ensembles totalement ordonnés, il faut et il suffit que le graphe de l’ordre de E soit intersection de n graphes d’ordres totaux sur E. (Pour voir que la condition est nécessaire, montrer que si $F = \prod_{i=1}^n F_i$ est un produit de n ensembles totalement ordonnés, le graphe de l’ordre produit sur F est intersection de n graphes d’ordres lexicographiques sur F.) b) Pour qu’un ensemble ordonné E soit isomorphe à un sous-ensemble d’un produit de deux ensembles totalement ordonnés, il faut et il suffit que l’ordre $\Gamma$ de E soit tel qu’il existe un deuxième ordre $\Gamma'$ sur E ayant la propriété que deux éléments distincts de E sont comparables pour un des ordres $\Gamma, \Gamma'$ et un seul. c) Soit A un ensemble fini de n éléments. Dans $\mathfrak{P}(A)$, on considère l’ensemble E formé des éléments $\{x\}$ et $A - \{x\}$, où x parcourt A ; montrer que n est le plus petit des entiers m tels que E, ordonné par inclusion, soit isomorphe à un sous-ensemble d’un produit de m ensembles totalement ordonnés (utiliser a)).