Exercice 11, § 5

Soient E un ensemble à n éléments, S un ensemble de signes, somme de E et d’un ensemble réduit à un seul élément f; on suppose que f est de poids 2 et tout élément de E de poids 0 (I, p. 49, exerc. 3). a) Soit M l’ensemble des mots significatifs de L_0(S) contenant chaque élément de E une fois et une seule. Montrer que le nombre $u_n$ des éléments de M vérifie la relation $u_{n+1} = (4n-2)u_n$ et en déduire que l’on a

(« nombre de produits de n termes différents pour une loi de composition non associative »). b) Soit $x_i$ le i-ème des éléments de E qui figure dans un mot de M. Montrer que le nombre $v_n$ des mots de M pour lesquels la suite $(x_i)$ est donnée, est égal à $\frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1}$, et vérifie la relation