Exercice 12, § 5

a) Soient p, q deux entiers $\geq 1$, $n = 2p + q$, E un ensemble ayant n éléments, $N = \binom{n}{p} = \binom{n}{p+q}$. Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq N}$ (resp. $(Y_i)_{1 \leq i \leq N}$) la suite des parties de E à p (resp. $p+q$) éléments, rangées dans un certain ordre; montrer qu’il existe une bijection $\varphi$ de $[1, N]$ sur lui-même telle que $X_{\varphi(i)} \subset Y_i$ pour tout i. (Méthode analogue à celle de l’exerc. 6 de III, p. 81 : observer que pour tout $r \leq N$, le nombre des $Y_j$ contenant au moins une des parties $X_1, \ldots, X_r$ est $\geq r$). b) Soient h, k deux entiers $\geq 1$, n un entier tel que $2h + k < n$, E un ensemble ayant n éléments, $(X_i)_{1 \leq i \leq r}$ une suite de parties distinctes de E ayant toutes h éléments. Montrer qu’il existe une suite $(Y_j)_{1 \leq j \leq r+1}$ de parties distinctes de E, ayant toutes $h + k$ éléments, telles que tout $Y_j$ contienne au moins un des $X_i$ et que tout $X_i$ soit contenu dans au moins un $Y_j$ (raisonner par récurrence sur n, en utilisant a)).