Exercice 5, § 5

Étiquette 03MH, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 03MH].

Théorie des ensembles, III, p. 83

a) Soit E un ensemble réticulé distributif, et soit $f$ une application de E dans un monoïde commutatif M (noté additivement), telle que l'on ait

$f(x) + f(y) = f(\sup(x, y)) + f(\inf(x, y))$

quels que soient $x, y$ dans E. Montrer que pour toute partie finie I de E, on a
$f(\sup(I)) + \sum_{2n \leq \mathrm{Card}(I)} (\sum_{H \subset I, \mathrm{Card}(H)=2n} f(\inf(H))) = \sum_{2n+1 \leq \mathrm{Card}(I)} (\sum_{H \subset I, \mathrm{Card}(H)=2n+1} f(\inf(H)))$
(raisonner par récurrence sur $\mathrm{Card}(I)$ ).

b) En particulier, soient A un ensemble, $(B_i)_{i \in I}$ une famille finie de parties finies de A, B la réunion des $B_i$ . Pour toute partie H de I, on pose $B_H = \bigcap_{i \in H} B_i$ ; montrer que l’on a

\operatorname{Card}(B) + \sum_{2n \leq \operatorname{Card}(I)} \left( \sum_{\operatorname{Card}(H) = 2n} \operatorname{Card}(B_H) \right) = \sum_{2n+1 \leq \operatorname{Card}(I)} \left( \sum_{\operatorname{Card}(H) = 2n+1} \operatorname{Card}(B_H) \right).

Solution

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Cité par

Exercise 6, § 5

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Rien.