Exercice 21, § 6

On dit qu’un cardinal infini $\alpha$ est dominant si, pour tout couple de cardinaux $m < a$, $n < a$, on a $m^n < a$. a) Pour que $\alpha$ soit dominant, il suffit que, pour tout cardinal $m < a$, on ait $2^m < a$. b) On définit par récurrence une suite $(\alpha_n)$ de cardinaux de la façon suivante: $\alpha_0 = \aleph_0$, $\alpha_{n+1} = 2^{\alpha_n}$. Montrer que la somme $b$ de la suite $(\alpha_n)$ est un cardinal dominant; $\aleph_0$ et $b$ sont les deux plus petits cardinaux dominants. c) Montrer que l’on a $b^{\aleph_0} = \aleph_0^b = 2^b$ (remarquer que $2^b \leq b^{\aleph_0}$); en déduire que l’on a $b^{\aleph_0} = (2^b)^b$, bien que $b < 2^b$ et $\aleph_0 < b$.