Exercice 1, § 7

Soient $I$ un ensemble préordonné filtrant à droite, $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de parties de $I$, ayant pour ensemble d'indices $L$ un ensemble préordonné filtrant à droite, et telle que : $1^\circ$ pour tout $\lambda \in L$, $J_\lambda$ est filtrant pour la relation d'ordre induite par celle de $I$; $2^\circ$ la relation $\lambda \leqslant \mu$ entraîne $J_\lambda \subset J_\mu$; $3^\circ$ $I$ est réunion de la famille $(J_\lambda)$. Soit $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ un système projectif d'ensembles ayant $I$ pour ensemble d'indices ; soit $E$ sa limite projective, et pour tout $\lambda \in L$, soit $F_\lambda$ la limite projective du système projectif obtenu par restriction à $J_\lambda$ de l'ensemble d'indices. Pour $\lambda \leqslant \mu$, soit $g_{\lambda \mu}$ l'application canonique de $F_\mu$ dans $F_\lambda$ (III, p. 52). Montrer que $(F_\lambda, g_{\lambda \mu})$ est un système projectif d'ensembles relatif à $L$, et définir une bijection canonique de $F = \lim_{\leftarrow} F_\lambda$ sur $E$.