Dans ces conditions : 1° Il existe une application et une seule $u$ de $F$ dans $E$ telle que

2° Pour que $u$ soit injective, il faut et il suffit que pour tout couple d’éléments distincts $y, z$ de $F$, il existe $\alpha \in \mathbf{I}$ tel que $u_\alpha(y) \neq u_\alpha(z)$.

En effet, la relation $u_\alpha = f_\alpha \circ u$ signifie que pour tout $y \in F$, on a $\mathrm{pr}_\alpha(u(y)) = u_\alpha(y)$; l’élément $u(y) \in \prod_{\alpha \in \mathbf{I}} E_\alpha$ est déterminé de façon unique par $u(y) = (u_\alpha(y))_{\alpha \in \mathbf{I}}$. Reste à voir que $u(y) \in E$ pour tout $y \in F$, autrement dit que l’on a

Posons $v_\alpha = u_\alpha \circ f_\alpha$. Pour $\alpha \leq \beta$, on a, d’après (2)

On dit qu'une famille d'applications $u_\alpha : E_\alpha \to F_\alpha$ satisfaisant aux conditions du cor. 1 est un système projectif d'applications de $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ dans $(F_\alpha, g_{\alpha\beta})$; l'application $u$ définie dans le cor. 1 est appelée la limite projective de la famille $(u_\alpha)$ et se note $u = \lim \leftarrow u_\alpha$ lorsque aucune confusion n'est à craindre.

En effet, si on pose $w_\alpha = v_\alpha \circ u_\alpha$, on a, pour $\alpha \leq \beta$

ce qui montre que $(w_\alpha)$ est un système projectif d'applications. En outre, si on pose $u = \lim \leftarrow u_\alpha,\ v = \lim \leftarrow v_\alpha$, on a, pour tout $\alpha \in I$

et en raison de l'unicité de la limite projective, on a $v \circ u = \lim \leftarrow w_\alpha$.

Soit $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d'ensembles, et pour tout $\alpha \in I$, soit $M_\alpha$ une partie de $E_\alpha$. Si l'on a $f_{\alpha\beta}(M_\beta) \subset M_\alpha$ pour $\alpha \leq \beta$, on dit que les $M_\alpha$ forment un système projectif de parties des $E_\alpha$. Soit $g_{\alpha\beta}$ l'application de $M_\beta$ dans $M_\alpha$ (pour $\alpha \leq \beta$) ayant même graphe que la restriction de $f_{\alpha\beta}$ à $M_\beta$; il est clair que $(M_\alpha, g_{\alpha\beta})$ est un système projectif d'ensembles, et l'on a

En effet, si $\alpha \leq \beta$ et $x_\beta \in \bar{u}_\beta^{-1}(x'_\beta)$, on a

d'où la première assertion; et dire que $x = (x_\alpha) \in E = \lim \leftarrow E_\alpha$ est tel que $u(x) = x'$ signifie par définition que $u_\alpha(x_\alpha) = x'_\alpha$ pour tout $\alpha \in I$.

On notera qu’avec les notations de la prop. 2, les images $u_\alpha(E_\alpha)$ forment aussi un système projectif de parties des $E'_\alpha$ et l’on a

Pour tout $\alpha \in J$, soit $f'_\alpha$ l’application canonique $E' \to E_\alpha$; alors, compte tenu de (2) et (5), g est l’unique application de E dans $E'$ telle que $f_\alpha = f'_\alpha \circ g$ pour tout $\alpha \in J$ (III, p. 52, prop. 1). Vérifions le critère de la prop. 1 pour voir que g est injective: si $x, y$ sont deux éléments distincts de E, il existe par définition un $\alpha \in I$ tel que $f_\alpha(x) \neq f_\alpha(y)$; comme J est cofinal dans I, il existe $\lambda \in I$ tel que $\alpha \leq \lambda$; comme $f_{\alpha\lambda}(f_\lambda(x)) \neq f_{\alpha\lambda}(f_\lambda(y))$, on a bien $f_\lambda(x) \neq f_\lambda(y)$. Montrons ensuite que g est surjective. Soit $x' = (x'_\lambda)_{\lambda \in J}$ un élément de $E'$. Pour tout $\alpha \in I$, il existe $\lambda \in I$ tel que $\alpha \leq \lambda$; montrons que l’élément $f_{\alpha\lambda}(x'_\lambda)$ ne dépend pas de l’indice $\lambda \in J$ tel que $\alpha \leq \lambda$. En effet si $\mu \in J$ est tel que $\alpha \leq \mu$, il existe $\nu \in J$ tel que $\lambda \leq \nu$ et $\mu \leq \nu$, donc $f_{\alpha\lambda}(x'_\lambda) = f_{\alpha\lambda}(f_{\lambda\nu}(x'_\nu)) = f_{\alpha\nu}(x'_\nu)$, et de même $f_{\alpha\mu}(x'_\mu) = f_{\alpha\nu}(x'_\nu)$, d’où notre assertion. Soit $x_\alpha$ la valeur commune des $f_{\alpha\lambda}(x'_\lambda)$ pour les $\lambda \in J$ tels que $\alpha \leq \lambda$, et posons $x = (x_\alpha)_{\alpha \in I}$. L’élément x appartient à E, car si $\alpha \leq \beta$ et si $\lambda \in J$ est tel que $\beta \leq \lambda$, on a $f_{\alpha\beta}(x_\beta) = f_{\alpha\beta}(f_{\beta\lambda}(x'_\lambda)) = f_{\alpha\lambda}(x'_\lambda) = x_\alpha$. Enfin, on a $x'_\lambda = f_{\lambda\lambda}(x'_\lambda)$ pour tout $\lambda \in J$, donc $x_\lambda = x'_\lambda$ pour tout $\lambda \in J$, autrement dit $f_\lambda(x) = x'_\lambda$, d’où $g(x) = x'$, ce qui achève la démonstration.

En particulier, si I admet un plus grand élément $\omega$, on peut prendre $J = \{\omega\}$, et on voit que $\lim_{\leftarrow} E_\alpha$ s’identifie canoniquement à $E_\omega$.

Remarques

1) Pour tout $\alpha \in I$, posons $E'_\alpha = f_\alpha(E)$; les $E'_\alpha$ forment un système projectif de parties des $E_\alpha$ en vertu de (2), et il est immédiat que l’on a $\lim_{\leftarrow} E'_\alpha = E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$; on notera que l’application $f'_{\alpha\beta} : E'_\beta \to E'_\alpha$ (pour $\alpha \leq \beta$) ayant même graphe que la restriction de $f_{\alpha\beta}$ à $E'_\beta$ est surjective; en outre, on a

2) Soient I un ensemble préordonné filtrant à droite, $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’ensembles relatif à I, et pour tout $\alpha \in I$, soit $u_\alpha : F \to E_\alpha$ une application, telle que la famille $(u_\alpha)$ vérifie (5). Considérons le système projectif $(F_\alpha, i_{\alpha\beta})$ relatif à I, où $F_\alpha = F$ pour tout $\alpha \in I$ et $i_{\alpha\beta}$ est l’application identique de F. On sait alors

(III, p. 52, Exemple 2) que F s’identifie canoniquement à $\lim_{\leftarrow} F_\alpha$. Si on considère $u_\alpha$ comme application de $F_\alpha$ dans $E_\alpha$, $(u_\alpha)$ est un système projectif d’applications, et l’application $u : F \to E$ définie par (6) s’identifie à la limite projective de ce système d’applications. Aussi écrit-on alors par abus de langage $u = \lim_{\leftarrow} u_\alpha$.

3) Soient I un ensemble ordonné, $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’ensembles relatif à I. Pour toute partie finie J de I, soit $F_J$ la limite projective du système projectif (fini) obtenu à partir de $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ par restriction à J de l’ensemble d’indices. Pour deux parties finies J, K de I telles que $J \subset K$, soit $g_{JK}$ l’application canonique (3) de $F_K$ dans $F_J$; la relation (4) montre que $(F_J, g_{KJ})$ est un système projectif d’ensembles relatif à l’ensemble ordonné filtrant (pour la relation $\subset$) $\mathfrak{F}(I)$ des parties finies de I. D’autre part, pour tout $J \in \mathfrak{F}(I)$, soit $h_J : E \to F_J$ l’application canonique (3); en vertu de (4) (et avec l’abus de langage signalé dans la Remarque 2), $(h_J)$ est un système projectif d’applications; posons $h = \lim_{\leftarrow} h_J : E \to F = \lim_{\leftarrow} F_J$, et montrons que $h$ est une bijection (dite canonique). En effet, soit $y = (y_J)$ un élément de F; on a par définition $y_J = (x_{\alpha, J})_{\alpha \in J}$ avec $x_{\alpha, J} \in E_\alpha$ pour tout $\alpha \in J$; si $J \subset K$, on a, par définition des $g_{JK}$ et en raison de la relation $y_J = g_{JK}(y_K)$, $x_{\alpha, J} = x_{\alpha, K}$ pour tout $\alpha \in J$. Pour un $\alpha \in I$, il y a donc un unique élément $x_\alpha \in E_\alpha$ tel que $x_\alpha = x_{\alpha, J}$ pour tout J fini contenant $\alpha$. Si $\alpha \leq \beta$, il y a une partie finie J de I contenant à la fois $\alpha$ et $\beta$, donc $x_\alpha = f_{\alpha\beta}(x_\beta)$ par définition; on en conclut que $x = (x_\alpha)$ est l’unique élément de E tel que $h(x) = y$.

Soit $(\alpha_n)$ une suite d'éléments de $I$ formant une partie cofinale de $I$. Comme $I$ est filtrant, on peut définir par récurrence une suite $(\beta_n)$ par les conditions $\beta_0 = \alpha_0$, $\beta_n \geq \beta_i$ pour $i < n$ et $\beta_n \geq \alpha_n$; il est clair que la suite $(\beta_n)$ est croissante et forme une partie cofinale de $I$; tenant compte de III, p. 52, prop. 1 et des relations $f_\alpha = f_{\alpha\beta_n} \circ f_{\beta_n}$ pour $\alpha \leq \beta_n$, on voit qu'on est ramené à prouver la proposition lorsque $I = \mathbf{N}$. En outre, il est clair qu'il suffit de prouver que $f_0$ est surjective. Soit donc $x_0 \in E_0$; on définit par récurrence $x_n \in E_n$ pour $n \geq 1$ comme un élément de $f_{n-1,n}^{-1}(x_{n-1})$, ce qui est possible puisque ce dernier ensemble n'est pas vide par hypothèse. On prouve alors par récurrence sur $n - m$ que pour $m \leq n$, on a $x_m = f_{mn}(x_n)$, donc $x = (x_n)$ appartient à $E$.

Le second critère concerne les systèmes projectifs $(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$ relatifs à un ensemble d'indices $I$, tels que pour tout $\alpha \in I$ on se soit donné un ensemble $\mathfrak{S}_\alpha$ de parties de $E_\alpha$, vérifiant les conditions suivantes:

(i) Toute intersection d'ensembles de $\mathfrak{S}_\alpha$ appartient à $\mathfrak{S}_\alpha$.

Il résulte en particulier de cette condition (en considérant l'intersection de la famille vide) que $E_\alpha \in \mathfrak{S}_\alpha$.

(ii) Si un ensemble de parties $\mathfrak{F} \subset \mathfrak{S}_\alpha$ est tel que toute intersection finie d'ensembles appartenant à $\mathfrak{F}$ soit non vide, alors $\bigcap_{M \in \mathfrak{F}} M$ est non vide.

Il est clair, compte tenu de (i), que (ii) est équivalente à la condition suivante:

(ii') Si $\mathfrak{G} \subset \mathfrak{S}_\alpha$ est un ensemble filtrant décroissant dont les éléments sont non vides, alors $\bigcap_{M \in \mathfrak{G}} M$ est non vide.

(iii) Pour tout couple d'indices $\alpha, \beta$ tels que $\alpha \leq \beta$, et tout $x_\alpha \in E_\alpha$, on a $f_{\alpha\beta}^{-1}(x_\alpha) \in \mathfrak{S}_\beta$.

(iv) Pour tout couple d'indices $\alpha, \beta$ tels que $\alpha \leq \beta$ et tout $M_\beta \in \mathfrak{S}_\beta$, on a $f_{\alpha\beta}(M_\beta) \in \mathfrak{S}_\alpha$.

Soit $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$, et pour tout $\alpha \in I$, soit $f_\alpha : E \to E_\alpha$ l'application canonique. Alors:

a) Pour tout $\alpha \in I$, on a

b) Si, pour tout $\alpha \in I$, $E_\alpha$ est non vide, alors $E$ est non vide.

Soit $\Sigma$ l'ensemble des familles $\mathfrak{A} = (A_\alpha)_{\alpha \in I}$ vérifiant les conditions:

Pour deux éléments $\mathfrak{A} = (A_\alpha)$, $\mathfrak{A}' = (A'_\alpha)$ de $\Sigma$, la relation $\mathfrak{A} \leq \mathfrak{A}'$ signifiera que $A_\alpha \supset A'_\alpha$ pour tout $\alpha$; il est clair que $\Sigma$ est ordonné par cette relation.

1° Prouvons d’abord que l’ensemble ordonné $\Sigma$ est inductif. Soient $L$ un ensemble totalement ordonné, $\lambda \mapsto \mathfrak{A}^\lambda = (A^\lambda_\alpha)_{\alpha \in I}$ une application strictement croissante de $L$ dans $\Sigma$. Pour tout $\alpha \in I$, posons $B_\alpha = \bigcap_{\lambda \in L} A^\lambda_\alpha$; il est immédiat que la famille $\mathfrak{B} = (B_\alpha)_{\alpha \in I}$ vérifie (21); en vertu de (i) et (ii'), elle vérifie aussi (20), donc $\mathfrak{B} \in \Sigma$, et il est clair que $\mathfrak{B}$ majore l’ensemble des $\mathfrak{A}^\lambda$.

2° Soit $\mathfrak{A} = (A_\alpha)$ un élément maximal de $\Sigma$; montrons que l’on a alors $A_\alpha = f_{\alpha \beta}(A_\beta)$ pour $\alpha \leq \beta$. En effet, soit $A'_\alpha = \bigcap_{\beta \geq \alpha} f_{\alpha \beta}(A_\beta)$ pour tout $\alpha \in I$; montrons que $\mathfrak{A}' = (A'_\alpha)$ appartient à $\Sigma$. Notons d’abord que pour $\alpha \leq \beta \leq \gamma$ on a $f_{\alpha \gamma}(A_\gamma) = f_{\alpha \beta}(f_{\beta \gamma}(A_\gamma)) \subset f_{\alpha \beta}(A_\beta)$ en vertu de (21); en outre on a $f_{\alpha \beta}(A_\beta) \in \mathfrak{S}_\alpha$ d’après (iv), et $f_{\alpha \beta}(A_\beta) \neq \varnothing$ par (20); les conditions (i) et (ii) montrent alors que $\mathfrak{A}'$ vérifie (20). Enfin $\mathfrak{A}'$ vérifie aussi (21): en effet, si $\alpha \leq \beta$, on a

d’autre part, pour tout $\delta \geq \alpha$, il existe un $\gamma \in I$ tel que $\gamma \geq \delta$ et $\gamma \geq \beta$, donc $f_{\alpha \gamma}(A_\gamma) \subset f_{\alpha \delta}(A_\delta)$, et par suite $\bigcap_{\gamma \geq \beta} f_{\alpha \gamma}(A_\gamma) = \bigcap_{\delta \geq \alpha} f_{\alpha \delta}(A_\delta) = A'_\alpha$, ce qui achève d’établir que $\mathfrak{A}' \in \Sigma$. Comme $A'_\alpha \subset A_\alpha$ pour tout $\alpha$, l’hypothèse que $\mathfrak{A}$ est maximal dans $\Sigma$ entraîne $\mathfrak{A}' = \mathfrak{A}$, ce qui prouve notre assertion.

3° Montrons maintenant que si $\mathfrak{A} = (A_\alpha)$ est un élément maximal de $\Sigma$, chacun des $A_\alpha$ est réduit à un élément. Soit $x_\alpha \in A_\alpha$. Pour tout $\beta \geq \alpha$, posons $B_\beta = A_\beta \cap f^{-1}_{\alpha \beta}(x_\alpha)$; si l’on n’a pas $\beta \geq \alpha$, posons $B_\beta = A_\beta$; nous allons voir que $\mathfrak{B} = (B_\beta)$ appartient à $\Sigma$. Si l’on n’a pas $\beta \geq \alpha$, la relation $\beta \leq \gamma$ entraîne