Exercice 2, § 3

Soient E et F deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, et soit $\mathscr{T}_0$ la topologie de F. Soit $\mathscr{T}$ une topologie séparée sur F, moins fine que $\mathscr{T}_0$. Montrer que si une application linéaire $u$ de E dans F est continue pour la topologie $\mathscr{T}$ sur F, elle est encore continue pour la topologie $\mathscr{T}_0$ sur F (utiliser le cor. 5 de I, p. 19). En déduire que si $\mathscr{T}_1$ et $\mathscr{T}_2$ sont deux topologies distinctes sur un espace vectoriel E sur un corps valué non discret, compatibles avec la structure d’espace vectoriel de E, et pour chacune desquelles E soit métrisable et complet, il n’existe pas de topologie séparée sur E moins fine que $\mathscr{T}_1$ et $\mathscr{T}_2$. Donner un exemple de deux telles topologies sur un espace vectoriel E de dimension infinie (remarquer qu’il existe des bijections de E sur lui-même non continues ainsi que la bijection réciproque pour une topologie d’espace normé sur E).