Bài tập 2, § 3

Cho E và F là hai không gian vectơ đầy đủ, mêtric được trên một vành chia định giá không rời rạc, và cho $\mathscr{T}_0$ là tôpô của F. Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô Hausdorff trên F, thô hơn $\mathscr{T}_0$. Chứng minh rằng nếu ánh xạ tuyến tính $u$ của E vào F là liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}$ trên F, thì nó vẫn liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}_0$ trên F (dùng hệ quả 5 của I, p. 19). Suy ra rằng nếu $\mathscr{T}_1$ và $\mathscr{T}_2$ là hai tôpô phân biệt trên một không gian vectơ E trên một vành chia định giá không rời rạc, tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E, và đối với mỗi tôpô trong hai tôpô đó E là mêtric được và đầy đủ, thì không tồn tại một tôpô Hausdorff trên E thô hơn $\mathscr{T}_1$ và $\mathscr{T}_2$. Cho một ví dụ về hai tôpô như vậy trên một không gian vectơ vô hạn chiều E (chú ý rằng tồn tại các song ánh của E lên chính nó sao cho cả song ánh và ánh xạ nghịch đảo của nó đều không liên tục đối với một tôpô không gian chuẩn trên E).