Exercice 3, § 3

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques séparés sur un corps valué non discret ; on suppose que E est métrisable et complet. Soit $u$ une application linéaire injective et continue de E dans F, et soit G un sous-espace vectoriel de $u(E)$; on suppose qu’il existe sur G une topologie $\mathscr{T}$, plus fine que la topologie induite par celle de F, compatible avec la structure d’espace vectoriel de G et pour laquelle G soit métrisable et complet. Montrer que la restriction à G de l’application réciproque de $u$ est continue pour $\mathscr{T}$ (utiliser I, p. 19, cor. 5).