Exercice 5, § 3

Soient E et F deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, et soit $u$ une application linéaire de E dans F. Soit N l’ensemble des valeurs d’adhérence de $u$ dans F suivant le filtre des voisinages de 0 dans E ; montrer que N est un sous-espace vectoriel fermé de F, et que, pour que $u$ soit continue, il faut et il suffit que N soit réduit à 0 (utiliser I, p. 19, cor. 5). Montrer que N est le plus petit des sous-espaces vectoriels fermés M de F tels que, si $\varphi$ désigne l’homomorphisme canonique de F sur F/M, $\varphi \circ u$ soit une application continue de E dans F/M.