Bài tập 5, § 3

.

5) Cho E và F là hai không gian vectơ đầy đủ mêtric hóa được trên một vành chia định giá không rời rạc và cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Cho N là tập hợp các điểm tụ của $u$ trong F đối với lọc các lân cận của 0 trong E; hãy chứng minh rằng N là một không gian con vectơ đóng của F, và rằng, để $u$ liên tục, điều kiện cần và đủ là N là điểm duy nhất 0 (dùng I, p. 19, cor. 5). Hãy chứng minh rằng N là nhỏ nhất trong các không gian con vectơ đóng M của F sao cho, nếu $\phi$ là đồng cấu chính tắc của F trên F/M, thì $\phi \circ u$ là một ánh xạ liên tục từ E vào F/M.