Exercice 6, § 3

Soit E un espace vectoriel métrisable et complet sur un corps valué non discret K. a) Soit p une application semi-continue inférieurement de E dans l’intervalle $[0, +\infty)$ de $\overline{\mathbf{R}}$ telle que $p(\lambda x) = |\lambda| \cdot p(x)$ pour $\lambda \neq 0$ dans K et $x \in E$, $p(0) = 0$ et satisfaisant à $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ quels que soient $x, y$ dans E. Montrer que si $p$ est finie dans E, $p$ est continue (considérer l’ensemble fermé B des $x \in E$ tels que $p(x) \leq 1$, et utiliser le th. de Baire). b) Soit $(p_n)$ une suite d’applications de E dans $[0, +\infty)$ vérifiant les conditions de a). Montrer que si aucune des $p_n$ n’est finie dans E, il existe un $x \in E$ tel que $p_n(x) = +\infty$ pour tout $n$ (même méthode).