Bài tập 6, § 3

Cho E là một không gian vectơ mêtric đầy đủ trên một vành chia có giá trị không rời rạc K. a) Cho $p$ là một ánh xạ nửa liên tục dưới từ E vào khoảng $[0, + \infty)$ của $\overline{\mathbf{R}}$ sao cho $p(\lambda x) = |\lambda|.p(x)$ với $\lambda \neq 0$ trong K và $x \in E$, sao cho $p(0) = 0$ và $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ với mọi $x, y$ trong E. Chứng minh rằng nếu $p$ hữu hạn trên E, thì $p$ liên tục (xét tập đóng B gồm các $x \in E$ sao cho $p(x) \leq 1$, và sử dụng định lý Baire). b) Cho $(p_n)$ là một dãy các ánh xạ từ E vào $(0, +\infty)$ thỏa mãn các điều kiện của a). Chứng minh rằng nếu không một $p_n$ nào hữu hạn trên E thì tồn tại một điểm $x \in E$ sao cho $p_n(x) = +\infty$ với mọi $n$ (cùng phương pháp như trên).