Exercice 7, § 3

Soit E un espace vectoriel métrisable et complet sur un corps valué non discret K. On dit qu’un sous-espace vectoriel M de E est paracomplet s’il existe sur M une structure d’espace vectoriel métrisable et complet pour laquelle l’injection canonique de M dans E soit continue. a) Soient M, N deux sous-espaces paracomplets de E tels que M + N et M ∩ N soient fermés dans E. Montrer que M et N sont alors fermés dans E. (En prenant les quotients par M ∩ N, se ramener au cas où M ∩ N = {0}, et considérer alors l’application $(x, y) \mapsto x + y$ de M × N dans E.) b) Montrer que si E est réunion d’une suite croissante $(M_j)_{j \geq 0}$ de sous-espaces paracomplets, il existe un indice j tel que $M_j = E$. (Utiliser le th. de Baire (TG, IX, p. 55, th. 1) et I, p. 17, th. 1.)